Diskriminante

Erklärung

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ ist der Term unter der Wurzel der abc-Formel. An ihrem Vorzeichen erkennt man sofort, wie viele reelle Lösungen es gibt, ohne die Gleichung ganz zu lösen:

• $D > 0$: zwei verschiedene Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
• $D = 0$: genau eine Lösung $x = -\frac{b}{2a}$. Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt.
• $D < 0$: keine reelle Lösung. Die Parabel liegt ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse.

Bei der Normalform $x^2 + px + q = 0$ entscheidet der Term $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ unter der Wurzel der p-q-Formel. Er ist ein Viertel von $p^2 - 4q$ und hat deshalb dasselbe Vorzeichen.

Beispiele

$x^2 - 4x + 3 = 0$ mit $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$:

Es gibt zwei Lösungen, nämlich $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$.

$2x^2 + 4x + 2 = 0$: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0$, also genau eine Lösung $x = -1$.

$x^2 + 2x + 5 = 0$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$, also keine reelle Lösung.

Parameteraufgabe: Für welches $c$ hat $x^2 + 6x + c = 0$ genau eine Lösung?

Die Gleichung $x^2 + 6x + 9 = 0$ hat dann die einzige Lösung $x = -3$.

Typische Fehler

• Ein negatives $b$ falsch quadrieren: $(-4)^2 = 16$, nicht $-16$. Die Klammer ist nötig.
• Das Vorzeichen von $c$ übersehen: Bei $c < 0$ und $a > 0$ wird $-4ac$ positiv, die Diskriminante also größer als $b^2$.
• $D < 0$ für einen Rechenfehler halten. Die Gleichung hat dann einfach keine reelle Lösung.
• Die Diskriminante berechnen, bevor die Gleichung in der Form $ax^2 + bx + c = 0$ steht, also mit $0$ auf einer Seite.