Negative Exponenten und Exponent null

Negative Exponenten und Exponent null

Mittelstufe

a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^0 = 1

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $n \in \mathbb{Z}$

$a$: Basis
$n$: Exponent, eine ganze Zahl

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.

Erklärung

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, kein negatives Ergebnis. Außerdem gilt für jede Basis $a \neq 0$ :

a^0 = 1

Beide Festlegungen folgen aus der Regel zum Dividieren von Potenzen. Sie sorgen dafür, dass die Potenzgesetze auch für ganzzahlige Exponenten gelten.

Negative Exponenten werden oft für kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise verwendet, z.B. $3 \cdot 10^{-6} = 0{,}000003$ .

Herleitung

Zuerst der Exponent null: Eine Zahl geteilt durch sich selbst ist $1$ , nach der Divisionsregel ist sie aber auch $a^0$ :

\frac{a^n}{a^n} = 1 \quad\text{und}\quad \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0

Damit folgt für den negativen Exponenten:

\frac{1}{a^n} = \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}

Beispiele

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125

10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01

Bei Brüchen kehrt man den Bruch um:

\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

Typische Fehler

Negativen Exponenten als negatives Vorzeichen lesen: $2^{-3} \neq -8$ .
$a^0 = 0$ annehmen. Richtig ist $a^0 = 1$ für jedes $a \neq 0$ .
Nur einen Teil des Bruchs umkehren: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \neq \frac{2}{9}$ .

Verwandte Formeln