Satz vom Nullprodukt

Mittelstufe

a \cdot b = 0 \;\Leftrightarrow\; a = 0 \;\lor\; b = 0

$a, b$: reelle Zahlen oder Terme, die Faktoren des Produkts
$\lor$: „oder“, mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.

Erklärung

Multipliziert man zwei Zahlen und erhält $0$ , dann muss mindestens eine der beiden Zahlen $0$ gewesen sein. Das gilt auch für mehr als zwei Faktoren.

Der Satz ist ein wichtiges Werkzeug zum Lösen von Gleichungen: Steht auf einer Seite ein Produkt und auf der anderen Seite null, kann man jeden Faktor einzeln gleich null setzen. Dazu bringt man die Gleichung zuerst in diese Form, z.B. durch Ausklammern oder mit einer binomischen Formel.

Wichtig: Der Satz funktioniert nur mit null auf der anderen Seite.

Beispiele

(x - 2)(x + 5) = 0 \;\Leftrightarrow\; x - 2 = 0 \;\lor\; x + 5 = 0

Die Lösungen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = -5$ .

Durch Ausklammern:

x^2 - 3x = 0 \;\Leftrightarrow\; x(x - 3) = 0

Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$ .

Mit Ausklammern und dritter binomischer Formel:

x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) = 0

Die Lösungen sind $x_1 = 0$ , $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$ .

Typische Fehler

Durch $x$ teilen statt ausklammern: Aus $x^2 = 3x$ wird nach Teilen nur $x = 3$ . Die Lösung $x = 0$ geht verloren.
Den Satz bei einer anderen Zahl als null anwenden. Aus $(x - 1)(x - 2) = 6$ folgt nicht $x - 1 = 6$ oder $x - 2 = 6$ ; für $x = 7$ ist das Produkt $30$ . Richtig: $6$ auf die linke Seite bringen, $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0$ , also $x = 4$ oder $x = -1$ .
Einen Faktor übersehen, z.B. das ausgeklammerte $x$ , das selbst die Lösung $x = 0$ liefert.

Satz vom Nullprodukt