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Basiswechsel beim Logarithmus

Basiswechsel beim Logarithmus

Mittelstufe
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca=ln⁡bln⁡a\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}

Voraussetzung: a,c>0,a, c > 0, a,c≠1,a, c \neq 1, b>0b > 0

aa
ursprüngliche Basis
bb
Numerus
cc
neue Basis, meist 10 oder e

Ein Logarithmus zu beliebiger Basis lässt sich mit ln oder lg auf dem Taschenrechner berechnen.

Erklärung

Mit dem Basiswechsel rechnet man einen Logarithmus zu einer Basis aa in Logarithmen zu einer beliebigen anderen Basis cc um. Praktisch wichtig ist das, weil viele Taschenrechner nur ln⁡\ln (Basis ee) und lg⁡\lg (Basis 1010) haben.

Herleitung

Aus x=log⁡abx = \log_a b folgt ax=ba^x = b. Logarithmieren zur Basis cc und die Potenzregel ergeben

x⋅log⁡ca=log⁡cb⇒x=log⁡cblog⁡cax \cdot \log_c a = \log_c b \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Beispiele

log⁡210=ln⁡10ln⁡2≈2,30260,6931≈3,32\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2{,}3026}{0{,}6931} \approx 3{,}32log⁡5125=lg⁡125lg⁡5=3\log_5 125 = \frac{\lg 125}{\lg 5} = 3

Typische Fehler

  • Zähler und Nenner vertauschen: Der Numerus bb gehört in den Zähler, die alte Basis aa in den Nenner.
  • Den Bruch zu einem Logarithmus „kürzen“: ln⁡bln⁡a≠ln⁡ba\frac{\ln b}{\ln a} \neq \ln \frac{b}{a}.

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