Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Mittelstufe

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Voraussetzung: $m, n \in \mathbb{Z},$ $a \neq 0$

$a$: Basis
$m, n$: Exponenten (Hochzahlen)

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Erklärung

Multipliziert man zwei Potenzen mit derselben Basis, bleibt die Basis erhalten und die Exponenten werden addiert. Das gilt für ganzzahlige Exponenten bei jeder Basis $a \neq 0$ , bei natürlichen Exponenten sogar für $a = 0$ . Für gebrochene oder reelle Exponenten gilt die Regel bei positiver Basis $a > 0$ .

Herleitung

Für natürliche Exponenten zählt man die Faktoren:

a^3 \cdot a^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^5

Beispiele

2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128

x^5 \cdot x^{-2} = x^{5 + (-2)} = x^3

10^3 \cdot 10^2 = 10^5 = 100\,000

Typische Fehler

Exponenten multiplizieren statt addieren: $2^3 \cdot 2^4 \neq 2^{12}$ .
Die Regel bei verschiedenen Basen anwenden: $2^3 \cdot 3^2 \neq 6^5$ .
Die Regel auf Summen übertragen: $a^m + a^n \neq a^{m+n}$ .

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren