Differenz dritter Potenzen

Oberstufe

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Eine Differenz zweier dritter Potenzen lässt sich in (a − b) mal (a² + ab + b²) zerlegen.

Erklärung

Die Formel zerlegt eine Differenz zweier dritter Potenzen in ein Produkt aus einem linearen und einem quadratischen Faktor. Sie ist das Gegenstück zur dritten binomischen Formel $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

Man braucht sie zum Faktorisieren und damit zum Lösen von Gleichungen wie $x^3 = 8$ oder zum Kürzen von Bruchtermen.

Der zweite Faktor $a^2 + ab + b^2$ ist kein Binom: Der mittlere Koeffizient ist $1$ , nicht $2$ . Er lässt sich als $\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2$ schreiben und ist deshalb nur für $a = b = 0$ gleich null. Die Gleichung $x^3 - b^3 = 0$ hat daher nur die eine reelle Lösung $x = b$ .

Herleitung

Ausmultiplizieren der rechten Seite:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3

Die gemischten Glieder heben sich paarweise auf.

Beispiele

x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Da $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$ nie null ist, hat $x^3 - 8 = 0$ nur die Lösung $x = 2$ .

27y^3 - 1 = (3y)^3 - 1^3 = (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)

Kopfrechnen:

10^3 - 9^3 = (10 - 9)(100 + 90 + 81) = 271

Typische Fehler

$(a - b)^3$ mit $a^3 - b^3$ verwechseln: $(2 - 1)^3 = 1$ , aber $2^3 - 1^3 = 7$ .
Im zweiten Faktor das falsche Vorzeichen setzen. Bei der Differenz steht $+ab$ , bei der Summe $a^3 + b^3$ steht $-ab$ .
Den zweiten Faktor für ein Binom halten und als $(a + b)^2$ schreiben. Richtig ist $a^2 + ab + b^2$ mit dem Koeffizienten $1$ .
Bei Faktoren die dritte Potenz übersehen: $27y^3 = (3y)^3$ , also ist $a = 3y$ und nicht $27y$ .

Differenz dritter Potenzen