Binomischer Lehrsatz

Oberstufe

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^{k}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}$

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme
$n$: Exponent, eine natürliche Zahl
$k$: Laufindex der Summe, von 0 bis n
$\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient „n über k“

Beschreibt, wie man eine beliebige Potenz einer Summe mit Binomialkoeffizienten ausmultipliziert.

Erklärung

Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die erste binomische Formel auf jede natürliche Hochzahl $n$ . Jeder Summand besteht aus einem Binomialkoeffizienten, einer Potenz von $a$ und einer Potenz von $b$ . Die Exponenten von $a$ fallen von $n$ auf $0$ , die von $b$ steigen von $0$ auf $n$ .

Der Binomialkoeffizient berechnet sich als

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Die Koeffizienten lassen sich auch im Pascalschen Dreieck ablesen: Jede Zahl ist die Summe der beiden Zahlen darüber.

Beispiele

Für $n = 5$ sind die Koeffizienten $1, 5, 10, 10, 5, 1$ :

(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5

Dabei ist z.B. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$ .

Mit Zahlen statt $b$ :

(x+2)^4 = x^4 + 4 \cdot 2\,x^3 + 6 \cdot 4\,x^2 + 4 \cdot 8\,x + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16

Typische Fehler

Die Potenzen von $b$ vergessen: Beim Summanden mit $\binom{4}{2}$ gehört $2^2 = 4$ dazu, also $6 \cdot 4 = 24$ .
Die Summe bei $k = 1$ statt bei $k = 0$ beginnen. Dann fehlt der Summand $a^n$ .
Bei $(a-b)^n$ die Vorzeichen nicht beachten: Man setzt $-b$ ein, die Summanden mit ungeradem $k$ werden negativ.

Binomischer Lehrsatz