Horner-Schema

Oberstufe

p(x_0) = \bigl(\cdots\bigl((a_n x_0 + a_{n-1})\, x_0 + a_{n-2}\bigr)\, x_0 + \cdots + a_1\bigr)\, x_0 + a_0

$p(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$: Polynom vom Grad n
$a_n, \ldots, a_0$: Koeffizienten des Polynoms, fehlende Potenzen mit 0
$x_0$: Stelle, an der das Polynom ausgewertet wird

Das Horner-Schema berechnet Funktionswerte eines Polynoms durch abwechselndes Multiplizieren und Addieren.

Erklärung

Das Horner-Schema ist ein Rechenschema, mit dem man den Wert eines Polynoms an einer Stelle $x_0$ schnell und ohne Potenzen ausrechnet. Dazu klammert man $x$ immer wieder aus, wie in der Formel oben. Es bleiben nur Multiplikationen mit $x_0$ und Additionen.

Man schreibt die Rechnung als Tabelle:

In die erste Zeile alle Koeffizienten $a_n, \ldots, a_0$ , auch die Nullen für fehlende Potenzen.
Den ersten Koeffizienten nach unten in die dritte Zeile übernehmen.
Die Zahl unten mit $x_0$ multiplizieren, das Ergebnis in die mittlere Zeile der nächsten Spalte schreiben und nach unten addieren.
Schritt 3 bis zur letzten Spalte wiederholen. Die letzte Zahl unten ist $p(x_0)$ .

Die übrigen Zahlen der unteren Zeile sind die Koeffizienten des Quotienten bei der Division durch $(x - x_0)$ . Das Horner-Schema ist also eine verkürzte Polynomdivision. Ist $p(x_0) = 0$ , ist $x_0$ eine Nullstelle, und man hat das Polynom gleich um den Faktor $(x - x_0)$ reduziert.

Beispiele

$p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ an der Stelle $x_0 = 2$ :

	$x^3$	$x^2$	$x$	$1$
Koeffizienten	$2$	$-3$	$4$	$-5$
$\cdot 2$		$4$	$2$	$12$
Summe	$2$	$1$	$6$	$7$

Also $p(2) = 7$ , zur Kontrolle: $2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 - 5 = 7$ . Außerdem gilt

2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7

$p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ an der Stelle $x_0 = 1$ : Die untere Zeile lautet $1, -1, -6, 0$ . Der Rest ist $0$ , also ist $1$ eine Nullstelle, und

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)

Mit fehlenden Potenzen: $p(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ hat die Koeffizienten $1, 0, -3, 0, 2$ . An der Stelle $x_0 = -2$ ergibt die untere Zeile $1, -2, 1, -2, 6$ , also $p(-2) = 6$ .

Typische Fehler

Fehlende Potenzen nicht mit $0$ eintragen. Bei $x^4 - 3x^2 + 2$ wären es sonst nur drei Koeffizienten, und alles verrutscht.
In der mittleren Zeile addieren statt multiplizieren: Die untere Zahl wird mit $x_0$ multipliziert, erst dann wird addiert.
Bei der Division durch $(x + 2)$ mit $x_0 = 2$ rechnen. Richtig ist $x_0 = -2$ , denn $x + 2 = x - (-2)$ .

Horner-Schema

Horner-Schema

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Beispiele

Typische Fehler

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