Exponentialgleichung lösen

Mittelstufe

a^x = b \;\Leftrightarrow\; x = \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $b > 0$

$a$: Basis der Potenz
$b$: Wert, den die Potenz annehmen soll
$x$: Unbekannte im Exponenten
$\lg$: Zehnerlogarithmus; jeder andere Logarithmus, z.B. ln, funktioniert genauso

Steht die Unbekannte im Exponenten, löst man die Gleichung durch Logarithmieren beider Seiten.

Erklärung

Eine Exponentialgleichung enthält die Unbekannte im Exponenten, z.B. $3^x = 20$ . Mit Umstellen allein kommt man nicht an $x$ heran. Man nutzt den Logarithmus, der Exponenten „herunterholt“: $\lg(a^x) = x \cdot \lg a$ .

Vorgehen:

Die Potenz allein auf eine Seite bringen, also auf die Form $a^x = b$ .
Beide Seiten logarithmieren: $\lg(a^x) = \lg b$ .
Das Logarithmusgesetz anwenden: $x \cdot \lg a = \lg b$ .
Durch $\lg a$ teilen: $x = \dfrac{\lg b}{\lg a}$ .

Lässt sich $b$ als Potenz von $a$ schreiben, reicht ein Exponentenvergleich. Ist $b \leq 0$ , hat $a^x = b$ keine Lösung, weil $a^x$ immer positiv ist.

Beispiele

Exponentenvergleich: $2^x = 32 = 2^5$ , also $x = 5$ .

Mit Logarithmus: $3^x = 20$

x = \frac{\lg 20}{\lg 3} \approx 2{,}7268

Ein Bestand von $500$ Tieren wächst jedes Jahr um $4\,\%$ . Wann sind es $800$ Tiere?

500 \cdot 1{,}04^x = 800 \;\Rightarrow\; 1{,}04^x = 1{,}6 \;\Rightarrow\; x = \frac{\lg 1{,}6}{\lg 1{,}04} \approx 11{,}98

Nach knapp $12$ Jahren ist der Bestand auf $800$ Tiere gewachsen.

Unbekannte auf beiden Seiten: $2^{x+1} = 5^x$

(x+1)\lg 2 = x \lg 5 \;\Rightarrow\; \lg 2 = x(\lg 5 - \lg 2) \;\Rightarrow\; x = \frac{\lg 2}{\lg 5 - \lg 2} \approx 0{,}7565

Typische Fehler

Logarithmieren, bevor die Potenz allein steht: $\lg(500 \cdot 1{,}04^x)$ ist nicht $500 \cdot x \cdot \lg 1{,}04$ . Erst durch $500$ teilen.
Den Bruch der Logarithmen mit dem Logarithmus des Bruchs verwechseln: $\dfrac{\lg 20}{\lg 3} \approx 2{,}7268$ , aber $\lg\dfrac{20}{3} \approx 0{,}8239$ .
Eine Lösung für $a^x = b$ mit $b \leq 0$ suchen, z.B. bei $2^x = -4$ . Diese Gleichung hat keine Lösung.

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