Betragsungleichung

Erklärung

Der Betrag $|x - a|$ ist der Abstand zwischen $x$ und $a$ auf dem Zahlenstrahl. Die Ungleichung $|x - a| \leq r$ fragt also: Welche Zahlen liegen höchstens $r$ von $a$ entfernt? Das sind alle Zahlen im Intervall $[a - r;\ a + r]$.

Entsprechend gilt für „größer":

Bei $<$ und $\geq$ ändern sich nur die Randpunkte. Ist $r$ negativ, hat $|x - a| \leq r$ keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ ist.

Steht auf beiden Seiten ein Term mit $x$, hilft die Fallunterscheidung:

1. Fall: Der Inhalt des Betrags ist $\geq 0$. Betragsstriche einfach weglassen.
2. Fall: Der Inhalt ist $< 0$. Betragsstriche durch eine Klammer mit Minus davor ersetzen.

In jedem Fall löst man die Ungleichung und schneidet das Ergebnis mit der Fallbedingung. Die Lösungsmenge ist die Vereinigung beider Fälle.

Beispiele

$|2x - 3| \leq 5$: Der Term $2x - 3$ muss zwischen $-5$ und $5$ liegen.

Probe an den Rändern: $|2 \cdot (-1) - 3| = 5$ und $|2 \cdot 4 - 3| = 5$. Lösungsmenge $\mathbb{L} = [-1;\ 4]$.

$|x + 1| > 3$: Hier ist $a = -1$ und $r = 3$, denn $x + 1 = x - (-1)$.

Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{x \mid x < -4 \text{ oder } x > 2\}$.

Mit Fallunterscheidung: $|x - 2| < 2x + 1$.

1. Fall $x \geq 2$: $x - 2 < 2x + 1$, also $x > -3$. Zusammen mit $x \geq 2$ gilt das für alle $x \geq 2$.
2. Fall $x < 2$: $-(x - 2) < 2x + 1$, also $2 - x < 2x + 1$ und damit $x > \frac{1}{3}$. Zusammen: $\frac{1}{3} < x < 2$.

Vereinigt: $\mathbb{L} = \{x \mid x > \frac{1}{3}\}$. Probe mit $x = 3$: $|3 - 2| = 1 < 7$. Mit $x = 0$: $|0 - 2| = 2$, aber $2 \cdot 0 + 1 = 1$, also nicht erfüllt, wie erwartet.

Typische Fehler

• Bei „größer als" eine Doppelungleichung schreiben: $|x + 1| > 3$ bedeutet nicht $-3 > x + 1 > 3$. Die Lösung besteht aus zwei getrennten Bereichen.
• Bei der Fallunterscheidung das Ergebnis nicht mit der Fallbedingung schneiden. Im 2. Fall gilt $x > \frac{1}{3}$ nur zusammen mit $x < 2$.
• Im 2. Fall das Minus nur vor den ersten Summanden setzen: $-(x - 2) = -x + 2$, nicht $-x - 2$.