Wurzeln dividieren

Mittelstufe

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Voraussetzung: $a \geq 0,$ $b > 0$

$a$: Radikand im Zähler
$b$: Radikand im Nenner

Der Quotient zweier Wurzeln ist die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden.

Erklärung

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten darf man dividieren, indem man die Radikanden dividiert. Der Nenner muss positiv sein, der Zähler darf nicht negativ sein. Für $n$ -te Wurzeln gilt entsprechend:

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

Eine häufige Anwendung ist das Rationalmachen des Nenners: Man erweitert so, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht.

Beispiele

\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6

\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}

Nenner rational machen durch Erweitern mit $\sqrt{2}$ , wobei $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ ist:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Typische Fehler

Aus Summen kürzen: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \neq \frac{1}{\sqrt{b}}$ . Im Nenner ist $\sqrt{a}$ kein gemeinsamer Faktor, der Bruch lässt sich so nicht kürzen.
Beim Erweitern nur den Nenner multiplizieren. Zähler und Nenner müssen mit demselben Faktor erweitert werden.

Wurzeln dividieren