Logarithmus und Potenz als Umkehrung

Mittelstufe

a^{\log_a x} = x, \qquad \log_a\left(a^x\right) = x

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1;$ $links$ $x > 0,$ $rechts$ $x \in \mathbb{R}$

$a$: Basis von Potenz und Logarithmus, für beide dieselbe
$x$: links der Numerus (positive Zahl), rechts ein beliebiger Exponent

Potenzieren und Logarithmieren zur selben Basis heben sich gegenseitig auf.

Erklärung

Der Logarithmus $\log_a x$ ist der Exponent, mit dem man $a$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten. Setzt man genau diesen Exponenten wieder auf $a$ , kommt $x$ heraus. Umgekehrt liefert der Logarithmus einer Potenz $a^x$ den Exponenten $x$ zurück.

Potenzieren und Logarithmieren zur gleichen Basis sind also Umkehrungen voneinander, so wie Quadrieren und Wurzelziehen bei positiven Zahlen.

Die beiden Regeln gelten unter verschiedenen Bedingungen:

$a^{\log_a x} = x$ nur für $x > 0$ , weil der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
$\log_a(a^x) = x$ für jedes reelle $x$ , weil $a^x$ immer positiv ist.

Man nutzt die Regeln beim Lösen von Gleichungen und beim Vereinfachen von Termen.

Beispiele

5^{\log_5 7} = 7, \qquad \log_{10}\left(10^{-4}\right) = -4

Gleichung lösen: Aus $\log_2 x = 5$ wird durch Potenzieren mit der Basis $2$

x = 2^{\log_2 x} = 2^5 = 32

Term vereinfachen mit einem Potenzgesetz:

3^{\log_3 x + 2} = 3^{\log_3 x} \cdot 3^2 = 9x \qquad (x > 0)

Typische Fehler

Verschiedene Basen kürzen: $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , nicht $9$ . Die Umkehrung funktioniert nur bei gleicher Basis.
Die Bedingung $x > 0$ vergessen: $2^{\log_2(-4)}$ ist nicht definiert, weil $\log_2(-4)$ nicht existiert.
Den Logarithmus wie einen Faktor behandeln: $\log_a(a^x)$ ist $x$ , nicht $a \cdot x$ .

Logarithmus und Potenz als Umkehrung