n-te Wurzeln einer komplexen Zahl

Studium

z_k = \sqrt[n]{r}\,\Bigl(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\Bigr)

Voraussetzung: $w = r\,e^{i\varphi},$ $r > 0,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1,$ $k = 0, 1, \ldots, n-1$

$w$: komplexe Zahl, deren Wurzeln gesucht sind (Lösungen von zⁿ = w)
$r$: Betrag von w
$\varphi$: Argument (Winkel) von w im Bogenmaß
$n$: Wurzelexponent
$k$: Nummer der Lösung
$z_k$: die n verschiedenen Lösungen von zⁿ = w
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Die Gleichung zⁿ = w hat für w ≠ 0 genau n verschiedene komplexe Lösungen, die ein regelmäßiges n-Eck bilden.

Erklärung

Im Reellen hat $x^3 = 8$ nur die Lösung $2$ . Im Komplexen hat die Gleichung $z^n = w$ für jedes $w \neq 0$ genau $n$ verschiedene Lösungen, die $n$ -ten Wurzeln von $w$ .

Man schreibt $w$ zuerst in Polarform $w = r\,e^{i\varphi}$ . Dann gilt für die Lösungen:

Alle haben denselben Betrag $\sqrt[n]{r}$ (reelle, positive Wurzel). Sie liegen also auf einem Kreis um den Ursprung.
Ihre Winkel unterscheiden sich jeweils um $\frac{2\pi}{n}$ . Die Lösungen bilden die Ecken eines regelmäßigen $n$ -Ecks.
Für $k = n$ erhält man wieder $z_0$ ; mehr als $n$ verschiedene Lösungen gibt es nicht.

Für $w = 1$ heißen die Lösungen Einheitswurzeln: $z_k = e^{2k\pi i/n}$ .

Das Zeichen $\sqrt[n]{w}$ ist für komplexe $w$ nicht eindeutig. Meist bezeichnet es die Lösung $z_0$ mit dem Hauptwert des Arguments.

Man setzt $z = s\,e^{i\psi}$ an. Nach der Formel von Moivre ist $z^n = s^n e^{in\psi}$ . Das soll gleich $r\,e^{i\varphi}$ sein. Die Beträge müssen übereinstimmen, also $s = \sqrt[n]{r}$ . Die Winkel dürfen sich um Vielfache von $2\pi$ unterscheiden, also $n\psi = \varphi + 2k\pi$ und damit $\psi = \frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ .

Beispiele

$z^3 = 8$ : Hier ist $r = 8$ , $\varphi = 0$ , $\sqrt[3]{8} = 2$ :

z_0 = 2, \qquad z_1 = 2\,e^{i \cdot 2\pi/3} = -1 + \sqrt{3}\,i, \qquad z_2 = 2\,e^{i \cdot 4\pi/3} = -1 - \sqrt{3}\,i

$z^2 = i$ : Hier ist $r = 1$ , $\varphi = \frac{\pi}{2}$ :

z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\,i, \qquad z_1 = e^{i \cdot 5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\,i

$z^4 = -16$ : Hier ist $r = 16$ , $\varphi = \pi$ , $\sqrt[4]{16} = 2$ . Die Winkel sind $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ :

z_{0,\ldots,3} = \pm\sqrt{2} \pm \sqrt{2}\,i

Typische Fehler

Nur die reelle Lösung angeben. $z^3 = 8$ hat drei komplexe Lösungen, nicht nur $z = 2$ .
Den Summanden $2k\pi$ vergessen. Dann erhält man nur eine einzige Lösung.
Nur $2k\pi$ durch $n$ teilen und $\varphi$ stehen lassen. Der ganze Winkel $\varphi + 2k\pi$ wird durch $n$ geteilt.
Den Betrag durch $n$ teilen statt die $n$ -te Wurzel zu ziehen: Für $z^4 = -16$ ist der Betrag der Lösungen $\sqrt[4]{16} = 2$ , nicht $4$ .

n-te Wurzeln einer komplexen Zahl