Betrag einer komplexen Zahl

Erklärung

Stellt man $z = a + bi$ in der Gaußschen Zahlenebene als Punkt $(a \mid b)$ dar, bilden Realteil, Imaginärteil und die Strecke zum Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck. Der Betrag $|z|$ ist nach dem Satz des Pythagoras die Länge dieser Strecke.

Eigenschaften:

• $|z| \geq 0$, und $|z| = 0$ nur für $z = 0$.
• Für reelle Zahlen ($b = 0$) stimmt $|z|$ mit dem gewöhnlichen Betrag überein.
• $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$ und $\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$ für $w \neq 0$.
• $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ mit der konjugiert komplexen Zahl $\overline{z} = a - bi$.
• $|z - w|$ ist der Abstand der Punkte $z$ und $w$ in der Zahlenebene.

Beispiele

Abstand von $1 + i$ und $4 + 5i$:

Betrag eines Produkts ohne Ausmultiplizieren:

Typische Fehler

• Das $i$ mitquadrieren: $\sqrt{3^2 + (4i)^2} = \sqrt{9 - 16}$ ist falsch. In die Formel kommt der Imaginärteil $b = 4$ ohne $i$.
• Real- und Imaginärteil einfach addieren: $|3 + 4i| \neq |3| + |4| = 7$.
• Ein negatives Vorzeichen falsch quadrieren: Bei $b = -1$ ist $b^2 = 1$.