Logarithmus einer Potenz

Mittelstufe

\log_a \left(u^r\right) = r \cdot \log_a u

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $u > 0,$ $r \in \mathbb{R}$

$a$: Basis
$u$: positive Zahl
$r$: beliebiger Exponent

Der Exponent im Logarithmus darf als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden.

Erklärung

Der Exponent im Argument eines Logarithmus kann als Faktor nach vorne gezogen werden. Das ist das wichtigste Werkzeug, um Exponentialgleichungen zu lösen: Man logarithmiert beide Seiten und holt so die Unbekannte aus dem Exponenten.

Die Regel gilt auch für Wurzeln, weil $\sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ ist.

Beispiele

\log_2 \left(8^5\right) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

Exponentialgleichung $2^x = 10$ :

\lg \left(2^x\right) = \lg 10 \;\Rightarrow\; x \cdot \lg 2 = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{\lg 2} \approx 3{,}32

Mit Wurzel:

\ln \sqrt{x} = \ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \ln x

Typische Fehler

Den Logarithmus potenzieren: $\left(\log_a u\right)^r \neq r \cdot \log_a u$ .
Einen Faktor vor der Potenz mitnehmen: $\log_a \left(3 u^2\right) = \log_a 3 + 2 \log_a u$ , nicht $2 \log_a (3u)$ .
Die Regel auf ein negatives $u$ anwenden: $\log_a \left((-2)^2\right) = 2 \log_a 2$ , nicht $2 \log_a (-2)$ . Allgemein gilt für gerades $r$ : $\log_a \left(u^r\right) = r \cdot \log_a |u|$ .

Logarithmus einer Potenz