Lösungsformel für ein lineares 2×2-Gleichungssystem

Mittelstufe

x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}

Voraussetzung: $a_1 x + b_1 y = c_1,$ $a_2 x + b_2 y = c_2,$ $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$

$x, y$: die eindeutige Lösung des Gleichungssystems
$a_1, b_1, c_1$: Koeffizienten und rechte Seite der ersten Gleichung
$a_2, b_2, c_2$: Koeffizienten und rechte Seite der zweiten Gleichung
$a_1 b_2 - a_2 b_1$: Hauptnenner, die Determinante des Systems

Ein lineares System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lässt sich direkt mit zwei Brüchen lösen.

Erklärung

Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten lässt sich in die Form

\begin{aligned} a_1 x + b_1 y &= c_1 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \end{aligned}

bringen. Rechnet man das Additionsverfahren allgemein durch, erhält man eine fertige Lösungsformel. Beide Brüche haben denselben Nenner $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ . Er heißt Determinante des Systems und entscheidet über die Lösbarkeit:

$D \neq 0$ : genau eine Lösung, die Formel liefert sie.
$D = 0$ : keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die zugehörigen Geraden sind parallel oder fallen zusammen. Die Formel ist dann nicht anwendbar.

Merkhilfe: Im Zähler von $x$ ersetzt man in $D$ die Zahlen $a_1, a_2$ durch $c_1, c_2$ , im Zähler von $y$ die Zahlen $b_1, b_2$ . Das ist die Cramersche Regel für zwei Unbekannte.

Beispiele

\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ 4x + 5y &= 7 \end{aligned}

Determinante $D = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 7$ , also gibt es genau eine Lösung:

x = \frac{7 \cdot 5 - 7 \cdot 2}{7} = \frac{21}{7} = 3, \qquad y = \frac{3 \cdot 7 - 4 \cdot 7}{7} = \frac{-7}{7} = -1

Mit negativen Koeffizienten:

\begin{aligned} x - 2y &= -4 \\ 2x + y &= 7 \end{aligned}

$D = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 5$ , und

x = \frac{(-4) \cdot 1 - 7 \cdot (-2)}{5} = \frac{10}{5} = 2, \qquad y = \frac{1 \cdot 7 - 2 \cdot (-4)}{5} = \frac{15}{5} = 3

Probe: $2 - 2 \cdot 3 = -4$ und $2 \cdot 2 + 3 = 7$ .

Ein System ohne Lösung: Bei $2x + 4y = 6$ und $x + 2y = 5$ ist $D = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0$ . Die erste Gleichung geteilt durch $2$ ergibt $x + 2y = 3$ , das widerspricht $x + 2y = 5$ .

Typische Fehler

Die Zähler vertauschen oder die Reihenfolge der Produkte drehen. Ein Vorzeichenfehler im Zähler ändert das Ergebnis; immer mit einer Probe prüfen.
Die Formel bei $D = 0$ verwenden. Durch null darf nicht geteilt werden; das System hat dann keine eindeutige Lösung.
Das System vorher nicht ordnen: Die Formel gilt nur, wenn $x$ und $y$ links und die Zahlen rechts stehen.

Lösungsformel für ein lineares 2×2-Gleichungssystem