Natürlicher Logarithmus

Oberstufe

\ln x = y \;\Leftrightarrow\; e^y = x

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: Numerus, eine positive Zahl
$y$: natürlicher Logarithmus von x, eine beliebige reelle Zahl
$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Der natürliche Logarithmus ln x ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um x zu erhalten.

Erklärung

Der natürliche Logarithmus $\ln x$ ist der Logarithmus zur Basis $e \approx 2{,}71828$ , also $\ln x = \log_e x$ . Er ist die Umkehrfunktion der e-Funktion:

e^{\ln x} = x \quad (x > 0), \qquad \ln\left(e^y\right) = y \quad (y \in \mathbb{R})

Wichtige Eigenschaften:

$\ln 1 = 0$ und $\ln e = 1$ .
Für $0 < x < 1$ ist $\ln x$ negativ, für $x > 1$ positiv. Für $x \leq 0$ ist $\ln x$ nicht definiert.
Die Logarithmusgesetze gelten wie bei jeder anderen Basis, z.B. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .
Jeden anderen Logarithmus kann man mit $\ln$ ausdrücken: $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$ .

In der Analysis ist $\ln$ der Standardlogarithmus, weil $e^x$ und $\ln x$ besonders einfache Ableitungen haben.

Beispiele

\ln\left(e^3\right) = 3, \qquad \ln 10 \approx 2{,}3026, \qquad \ln 0{,}5 \approx -0{,}6931

Gleichung mit der e-Funktion: $e^{2x} = 7$ . Man logarithmiert beide Seiten:

2x = \ln 7 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}9730

Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen:

\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}3219

Typische Fehler

Den Logarithmus einer Summe aufteilen: $\ln(2 + 3) \neq \ln 2 + \ln 3$ . Richtig ist $\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$ .
$\ln 0$ oder $\ln$ einer negativen Zahl berechnen wollen. Beides ist in den reellen Zahlen nicht definiert.
Beim Lösen von $e^{2x} = 7$ nur die rechte Seite logarithmieren. Es werden immer beide Seiten logarithmiert.
$\ln$ mit $\lg = \log_{10}$ verwechseln: $\ln 10 \approx 2{,}3026$ , aber $\lg 10 = 1$ .

Natürlicher Logarithmus