Dreiecksungleichung

Studium

|x + y| \leq |x| + |y|

Voraussetzung: $x, y \in \mathbb{R}$ $oder$ $x,$ $y \in \mathbb{C}$

$x, y$: reelle oder komplexe Zahlen (allgemein Vektoren eines normierten Raums)
$|\cdot|$: Betrag (allgemein Norm)

Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der Beträge.

Erklärung

Die Dreiecksungleichung schätzt den Betrag einer Summe nach oben ab. Gleichheit gilt für reelle Zahlen genau dann, wenn $x$ und $y$ nicht verschiedene Vorzeichen haben, also $x \cdot y \geq 0$ . Haben sie verschiedene Vorzeichen, heben sie sich teilweise auf, und die linke Seite ist echt kleiner. Bei komplexen Zahlen gilt Gleichheit genau dann, wenn eine der beiden Zahlen ein nichtnegatives reelles Vielfaches der anderen ist, beide Pfeile also in dieselbe Richtung zeigen.

Der Name kommt aus der Geometrie: Fasst man $x$ , $y$ und $x + y$ als Vektoren oder als komplexe Zahlen auf, bilden sie ein Dreieck. Eine Seite ist nie länger als die beiden anderen zusammen.

Wichtige Folgerungen:

Umgekehrte Dreiecksungleichung: $\bigl||x| - |y|\bigr| \leq |x - y|$ .
Für $n$ Summanden: $|x_1 + \ldots + x_n| \leq |x_1| + \ldots + |x_n|$ .
Abschätzen über einen Zwischenpunkt: $|a - c| \leq |a - b| + |b - c|$ . Diese Form wird in der Analysis ständig bei Grenzwertbeweisen gebraucht.

Herleitung

Für reelle Zahlen gilt $-|x| \leq x \leq |x|$ und $-|y| \leq y \leq |y|$ . Addiert man beide Ungleichungsketten, erhält man

-\bigl(|x| + |y|\bigr) \leq x + y \leq |x| + |y|

und das bedeutet genau $|x + y| \leq |x| + |y|$ .

Die umgekehrte Form folgt, indem man die Ungleichung auf $x = (x - y) + y$ anwendet: $|x| \leq |x - y| + |y|$ , also $|x| - |y| \leq |x - y|$ , und ebenso mit vertauschten Rollen.

Beispiele

Verschiedene Vorzeichen, $x = 3$ , $y = -5$ :

|3 + (-5)| = 2 \;\leq\; |3| + |-5| = 8

Gleiches Vorzeichen, $x = 2$ , $y = 4$ : $|2 + 4| = 6 = |2| + |4|$ , es gilt Gleichheit.

Umgekehrte Dreiecksungleichung mit $x = 3$ , $y = -5$ :

\bigl||3| - |-5|\bigr| = 2 \;\leq\; |3 - (-5)| = 8

Komplexe Zahlen $z = 3 + 4i$ und $w = -4 + 3i$ mit $|z| = |w| = 5$ :

|z + w| = |-1 + 7i| = \sqrt{50} \approx 7{,}0711 \;\leq\; 10

Typische Fehler

Immer Gleichheit annehmen: $|x + y| = |x| + |y|$ gilt nur, wenn $x$ und $y$ nicht verschiedene Vorzeichen haben.
Die umgekehrte Ungleichung falsch herum aufschreiben: $|x - y| \leq |x| - |y|$ ist falsch, z.B. ist für $x = 1$ , $y = -1$ die linke Seite $2$ , die rechte $0$ .
Die Ungleichung zum Abschätzen nach unten verwenden: $|x + y| \geq |x| + |y|$ ist falsch. Nach unten schätzt man mit der umgekehrten Form ab: $|x + y| \geq |x| - |y|$ .

Dreiecksungleichung