Polarform einer komplexen Zahl

Studium

z = r\,(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}

Voraussetzung: $r = |z| \geq 0,$ $\varphi \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$r$: Betrag von z, der Abstand vom Ursprung
$\varphi$: Argument von z, der Winkel zur positiven reellen Achse im Bogenmaß
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1
$e$: Eulersche Zahl

Die Polarform beschreibt eine komplexe Zahl durch ihren Betrag r und ihren Winkel φ zur reellen Achse.

Erklärung

Statt durch Realteil und Imaginärteil kann man eine komplexe Zahl $z \neq 0$ auch durch ihre Länge $r = |z|$ und ihren Winkel $\varphi$ zur positiven reellen Achse beschreiben. Das sind Polarkoordinaten in der Gaußschen Zahlenebene. Die Schreibweise $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ heißt trigonometrische Form, $r\,e^{i\varphi}$ heißt Exponentialform. Beide sind nach der Eulerschen Formel gleich.

Umrechnung zwischen $z = a + bi$ und Polarform:

Von polar nach algebraisch: $a = r\cos\varphi$ , $b = r\sin\varphi$ .
Von algebraisch nach polar: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ $r = a^{2} + b^{2}$ . Den Winkel bestimmt man aus $\cos\varphi = \frac{a}{r}$ $cos φ = \frac{a}{r}$ und $\sin\varphi = \frac{b}{r}$ $sin φ = \frac{b}{r}$ . Mit dem Arkustangens (Werte in $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ) erhält man den Hauptwert in $(-\pi, \pi]$ $(- π, π]$ so:
- $a > 0$ : $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$
- $a < 0$ und $b \geq 0$ : $\varphi = \arctan\frac{b}{a} + \pi$
- $a < 0$ und $b < 0$ : $\varphi = \arctan\frac{b}{a} - \pi$
- $a = 0$ : $\varphi = \frac{\pi}{2}$ bei $b > 0$ und $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ bei $b < 0$
Wählt man den Hauptwert in $[0, 2\pi)$ $[0, 2 π)$ , addiert man zu negativen Winkeln $2\pi$ $2 π$ ; dann ist $-\frac{\pi}{2}$ $- \frac{π}{2}$ zu $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{3 π}{2}$ geworden.

Das Argument $\varphi$ ist nur bis auf Vielfache von $2\pi$ bestimmt. Meist wählt man den Hauptwert in $(-\pi, \pi]$ oder in $[0, 2\pi)$ . Für $z = 0$ ist kein Winkel festgelegt.

Der Vorteil der Polarform: Beim Multiplizieren werden Beträge multipliziert und Winkel addiert, beim Dividieren Beträge dividiert und Winkel subtrahiert:

r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1 r_2\, e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}

Beispiele

$z = 1 + i$ : $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ , und $z$ liegt im ersten Quadranten auf der Winkelhalbierenden, also $\varphi = \frac{\pi}{4}$ :

1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}

$z = -1 + \sqrt{3}\,i$ : $r = \sqrt{1 + 3} = 2$ . Der Taschenrechner liefert $\arctan\frac{\sqrt{3}}{-1} = -\frac{\pi}{3}$ . Weil $a < 0$ und $b > 0$ , liegt $z$ im zweiten Quadranten, also

\varphi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}, \qquad z = 2\,e^{i \cdot 2\pi/3}

Zurück in die algebraische Form:

2\,e^{i\pi/6} = 2\cos\frac{\pi}{6} + 2i\sin\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + i

Multiplikation in Polarform:

2\,e^{i\pi/6} \cdot 3\,e^{i\pi/3} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i

Typische Fehler

Den Arkustangens ohne Blick auf den Quadranten übernehmen. Für $-1 + \sqrt{3}\,i$ ist $-\frac{\pi}{3}$ falsch, dieser Winkel gehört zum vierten Quadranten.
Grad und Bogenmaß mischen. In $e^{i\varphi}$ steht $\varphi$ immer im Bogenmaß.
Einen negativen Betrag verwenden. $r$ ist immer $\geq 0$ ; ein Minuszeichen gehört in den Winkel: $-2 = 2\,e^{i\pi}$ .

Polarform einer komplexen Zahl