Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Mittelstufe

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Voraussetzung: $m, n \in \mathbb{Z},$ $a \neq 0$

$a$: Basis
$m, n$: Exponenten (Hochzahlen)

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

Erklärung

Teilt man zwei Potenzen mit derselben Basis, bleibt die Basis erhalten und man subtrahiert den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers. Die Basis darf nicht $0$ sein, weil sonst durch $0$ geteilt würde. Für gebrochene oder reelle Exponenten gilt die Regel bei $a > 0$ .

Aus der Regel folgen zwei wichtige Festlegungen:

$m = n$ : $\frac{a^n}{a^n} = a^0 = 1$
$m = 0$ : $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$

Herleitung

Für natürliche Exponenten kürzt man gemeinsame Faktoren:

\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} = a^3

Beispiele

\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25

\frac{x^3}{x^5} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}

Typische Fehler

Exponenten dividieren: $\frac{a^6}{a^2} \neq a^3$ , richtig ist $a^4$ .
Die Reihenfolge vertauschen: Es ist Zähler-Exponent minus Nenner-Exponent.
Aus Summen nur einen Summanden kürzen: $\frac{a^3 + 1}{a^2} \neq a + 1$ . Richtig ist $\frac{a^3}{a^2} + \frac{1}{a^2} = a + \frac{1}{a^2}$ .

Potenzen mit gleicher Basis dividieren