Wurzel als Potenz

Mittelstufe

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Voraussetzung: $a \geq 0\ (a > 0 \text{ für } m < 0),$ $m \in \mathbb{Z},$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$a$: Radikand (Zahl unter der Wurzel)
$n$: Wurzelexponent
$m$: Exponent des Radikanden, eine ganze Zahl

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben, dann gelten die Potenzgesetze.

Erklärung

Eine Wurzel ist eine Potenz mit einem Bruch als Exponent: Der Wurzelexponent $n$ steht im Nenner, der Exponent $m$ des Radikanden im Zähler. Wichtige Sonderfälle:

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Mit dieser Schreibweise gelten alle Potenzgesetze auch für Wurzeln. So lassen sich Terme mit Wurzeln wie Potenzen vereinfachen; in der Oberstufe braucht man das auch beim Ableiten.

Die Basis muss dabei $a \geq 0$ sein (bei negativem Exponenten $a > 0$ ).

Beispiele

\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2

8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

\sqrt[4]{16^3} = 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8

Typische Fehler

Zähler und Nenner vertauschen: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ , nicht $x^{\frac{3}{2}}$ .
$8^{\frac{2}{3}}$ als $\frac{8^2}{3}$ lesen. Der ganze Bruch ist der Exponent.
Bei negativer Basis anwenden: $(-8)^{\frac{1}{3}}$ ist mit dieser Regel nicht definiert, obwohl $(-2)^3 = -8$ ist.

Wurzel als Potenz