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Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Mittelstufe
an⋅bn=(a⋅b)na^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

Voraussetzung: n∈Z,n \in \mathbb{Z}, a,b≠0a, b \neq 0

a,ba, b
Basen
nn
gemeinsamer Exponent

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert.

Erklärung

Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, kann man zuerst die Basen multiplizieren und dann potenzieren. Entsprechend gilt für die Division:

anbn=(ab)n\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n

Von rechts nach links gelesen heißt die Regel: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert. Für gebrochene oder reelle Exponenten gilt die Regel bei a,b>0a, b > 0.

Beispiele

23⋅53=103=10002^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 10000,54⋅44=24=160{,}5^4 \cdot 4^4 = 2^4 = 16(3x)2=32⋅x2=9x2(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2

Typische Fehler

  • Nur einen Faktor potenzieren: (3x)2≠3x2(3x)^2 \neq 3x^2.
  • Die Regel auf Summen übertragen: (a+b)2≠a2+b2(a + b)^2 \neq a^2 + b^2 (siehe binomische Formeln).
  • Bei verschiedenen Exponenten anwenden: 23⋅52≠1052^3 \cdot 5^2 \neq 10^5.

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