Bruchgleichung lösen

Mittelstufe

\frac{a}{x - p} = \frac{b}{x - q} \;\Rightarrow\; a(x - q) = b(x - p)

Voraussetzung: $x \neq p,$ $x \neq q$

$x$: Variable, die im Nenner vorkommt
$a, b$: Zähler der beiden Brüche
$p, q$: Zahlen, für die ein Nenner null wird (Definitionslücken)

Eine Bruchgleichung löst man, indem man die Definitionsmenge bestimmt und mit dem Hauptnenner multipliziert.

Erklärung

Eine Bruchgleichung hat die Variable $x$ im Nenner. Weil man nicht durch null teilen darf, gehört zum Lösen immer die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ : alle Zahlen außer denen, für die ein Nenner null wird.

Ablauf:

Definitionsmenge bestimmen: Jeden Nenner gleich null setzen und diese Werte ausschließen.
Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren. Alle Brüche verschwinden.
Die entstandene Gleichung lösen (linear oder quadratisch).
Prüfen, ob jede Lösung in $\mathbb{D}$ liegt. Werte außerhalb fallen weg.

Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, multipliziert man über Kreuz: Zähler links mal Nenner rechts gleich Zähler rechts mal Nenner links. Das ist die Formel oben.

Beispiele

\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x + 2}, \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1;\ -2\}

Über Kreuz multiplizieren:

3(x + 2) = 2(x - 1) \;\Rightarrow\; 3x + 6 = 2x - 2 \;\Rightarrow\; x = -8

$-8$ liegt in $\mathbb{D}$ . Probe: $\frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$ . Also $\mathbb{L} = \{-8\}$ .

Eine scheinbare Lösung:

\frac{x}{x - 2} + 1 = \frac{2}{x - 2}, \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}

Mal $(x - 2)$ : $x + (x - 2) = 2$ , also $2x = 4$ und $x = 2$ . Aber $2$ ist nicht in $\mathbb{D}$ . Die Gleichung hat keine Lösung, $\mathbb{L} = \{\}$ .

Eine quadratische Gleichung entsteht:

\frac{6}{x} = x - 1, \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}

Mal $x$ : $6 = x^2 - x$ , also $x^2 - x - 6 = 0$ und $(x - 3)(x + 2) = 0$ . Beide Lösungen $x = 3$ und $x = -2$ liegen in $\mathbb{D}$ . Probe: $\frac{6}{3} = 2 = 3 - 1$ und $\frac{6}{-2} = -3 = -2 - 1$ .

Typische Fehler

Die Definitionsmenge vergessen und deshalb eine Lösung angeben, für die ein Nenner null wird, wie $x = 2$ im zweiten Beispiel.
Nur die Brüche mit dem Hauptnenner multiplizieren, nicht aber die anderen Summanden: Im zweiten Beispiel wird auch die $1$ mit $(x - 2)$ multipliziert.
Beim Ausmultiplizieren die Klammern weglassen: $2(x - 1) = 2x - 2$ , nicht $2x - 1$ .

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