Polynomdivision

Oberstufe

p(x) = q(x) \cdot d(x) + r(x)

Voraussetzung: $d \neq 0,$ $\operatorname{grad} r < \operatorname{grad} d$

$p(x)$: Polynom, das geteilt wird (Dividend)
$d(x)$: Polynom, durch das geteilt wird (Divisor), nicht das Nullpolynom
$q(x)$: Ergebnis der Division (Quotient)
$r(x)$: Rest, mit kleinerem Grad als d(x)

Ein Polynom lässt sich wie eine Zahl schriftlich durch ein anderes teilen; bei einer Nullstelle bleibt kein Rest.

Erklärung

Die Polynomdivision funktioniert wie die schriftliche Division von Zahlen. Man teilt ein Polynom $p(x)$ durch ein Polynom $d(x)$ und erhält einen Quotienten $q(x)$ und einen Rest $r(x)$ mit kleinerem Grad als $d(x)$ .

Wichtigste Anwendung: Kennt man eine Nullstelle $x_0$ von $p$ (oft durch Raten, z.B. unter den Teilern des konstanten Glieds), dann geht die Division durch $(x - x_0)$ ohne Rest auf. Der Quotient hat einen Grad weniger. So wird aus einer Gleichung dritten Grades eine quadratische Gleichung.

Ablauf in jedem Schritt:

Den höchsten Term des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors teilen. Das ergibt den nächsten Term des Ergebnisses.
Diesen Term mit dem ganzen Divisor multiplizieren.
Das Produkt vom Dividenden abziehen.
Mit dem Rest weitermachen, bis sein Grad kleiner ist als der des Divisors.

Fehlende Potenzen schreibt man vorher mit $0$ dazu, z.B. $2x^3 + 3x^2 + 0x - 1$ .

Beispiele

$p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ hat die Nullstelle $x = 1$ , denn $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . Division durch $(x - 1)$ :

\begin{aligned} &x^3 : x = x^2, && x^2 (x - 1) = x^3 - x^2, && \text{Rest: } -x^2 - 5x + 6 \\ &-x^2 : x = -x, && -x(x - 1) = -x^2 + x, && \text{Rest: } -6x + 6 \\ &-6x : x = -6, && -6(x - 1) = -6x + 6, && \text{Rest: } 0 \end{aligned}

Also $(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6$ . Die quadratische Gleichung $x^2 - x - 6 = 0$ liefert die weiteren Nullstellen:

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Division mit Rest: $(2x^3 + 3x^2 - 1) : (x + 2) = 2x^2 - x + 2$ Rest $-5$ , also

2x^3 + 3x^2 - 1 = (2x^2 - x + 2)(x + 2) - 5

Der Rest ist der Funktionswert an der Stelle $-2$ : $p(-2) = -16 + 12 - 1 = -5$ . Das ist kein Zufall, bei Division durch $(x - x_0)$ ist der Rest immer $p(x_0)$ .

Typische Fehler

Beim Abziehen nur den ersten Term subtrahieren: $(-x^2 - 5x) - (-x^2 + x) = -6x$ , nicht $-4x$ .
Fehlende Potenzen nicht mit $0$ auffüllen. Dann stehen die Terme in falschen Spalten.
Durch $(x + 2)$ teilen, wenn die Nullstelle $2$ ist. Zur Nullstelle $x_0$ gehört der Faktor $(x - x_0)$ .

Polynomdivision