Quadratische Ergänzung

Mittelstufe

x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2

$x$: Variable
$p$: Koeffizient vor x

Formt einen quadratischen Term so um, dass ein Binom entsteht, z.B. für die Scheitelpunktform.

Erklärung

Bei der quadratischen Ergänzung ergänzt man einen Term der Form $x^2 + px$ so, dass er sich mit der ersten oder zweiten binomischen Formel zusammenfassen lässt. Damit der Wert gleich bleibt, zieht man die Ergänzung $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ sofort wieder ab.

Anwendungen:

Scheitelpunktform einer Parabel bestimmen: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ .
Quadratische Gleichungen lösen; die p-q-Formel entsteht genau so.

Steht vor $x^2$ ein Faktor $a \neq 1$ , klammert man ihn zuerst aus.

Beispiele

Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 + 6x + 5$ :

x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4

Der Scheitelpunkt ist $S(-3 \mid -4)$ .

Mit negativem $p$ :

x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4

Mit Faktor vor $x^2$ :

2x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2\left[(x+2)^2 - 4\right] + 3 = 2(x+2)^2 - 5

Typische Fehler

Die Ergänzung nicht wieder abziehen. Dann ändert sich der Wert des Terms.
Das Vorzeichen im Scheitelpunkt: Aus $(x+3)^2$ folgt $d = -3$ , nicht $+3$ .
Beim ausgeklammerten Faktor die abgezogene Ergänzung nicht mit dem Faktor multiplizieren: $2 \cdot (-4) = -8$ .

Quadratische Ergänzung