Wurzel aus einer Wurzel

Mittelstufe

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Voraussetzung: $a \geq 0,$ $m, n \in \mathbb{N},$ $m, n \geq 2$

$a$: Radikand, eine Zahl größer oder gleich null
$m$: Wurzelexponent der äußeren Wurzel
$n$: Wurzelexponent der inneren Wurzel

Zieht man aus einer Wurzel noch einmal eine Wurzel, werden die Wurzelexponenten multipliziert.

Erklärung

Steht unter einer Wurzel wieder eine Wurzel, kann man beide zu einer Wurzel zusammenfassen. Der neue Wurzelexponent ist das Produkt der beiden Wurzelexponenten. Eine Quadratwurzel aus einer Quadratwurzel ist also eine vierte Wurzel.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: Man kann auch zuerst die äußere und dann die innere Wurzel ziehen.

Die Regel gilt nur, wenn die Wurzeln direkt ineinander stecken. Bei einer Summe unter der äußeren Wurzel, wie $\sqrt{9 + \sqrt{16}}$ , darf man nichts zusammenfassen.

Herleitung

Schreibt man beide Wurzeln als Potenzen, folgt die Regel aus dem Gesetz „Potenz einer Potenz":

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Beispiele

\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[4]{81} = 3 \qquad \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2

Mit Variablen:

\sqrt{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}

Steht vor der inneren Wurzel ein Faktor, holt man ihn zuerst unter die innere Wurzel:

\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 2}} = \sqrt[4]{8}

Typische Fehler

Die Wurzelexponenten addieren statt multiplizieren: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ ist $\sqrt[6]{64} = 2$ , nicht $\sqrt[5]{64} \approx 2{,}297$ .
Bei einer Summe unter der Wurzel zusammenfassen: $\sqrt{9 + \sqrt{16}} = \sqrt{13}$ , das ist nicht $\sqrt[4]{9 + 16}$ .
Einen Faktor vor der inneren Wurzel vergessen: In $\sqrt{2\sqrt{2}}$ muss die $2$ quadriert unter die innere Wurzel.

Wurzel aus einer Wurzel