Dritte binomische Formel

Mittelstufe

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Summe mal Differenz derselben zwei Zahlen ergibt die Differenz ihrer Quadrate.

Erklärung

Multipliziert man die Summe zweier Zahlen mit ihrer Differenz, heben sich die gemischten Terme gegenseitig auf. Übrig bleibt nur die Differenz der Quadrate.

Besonders nützlich ist die Formel von rechts nach links: Ein Term der Form $a^2 - b^2$ lässt sich sofort in ein Produkt zerlegen (faktorisieren), z.B. um Brüche zu kürzen oder Nullstellen abzulesen.

Herleitung

(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2

Die Terme $-ab$ und $+ba$ ergeben zusammen $0$ .

Beispiele

(x+5)(x-5) = x^2 - 25

(3y+2)(3y-2) = 9y^2 - 4

Kopfrechnen mit der Formel:

21 \cdot 19 = (20+1)(20-1) = 400 - 1 = 399

Faktorisieren:

x^2 - 49 = (x+7)(x-7)

Typische Fehler

$a^2 - b^2$ mit $(a-b)^2$ verwechseln. Das ist die zweite binomische Formel und ergibt $a^2 - 2ab + b^2$ .
$a^2 + b^2$ wie $a^2 - b^2$ zerlegen. Eine Summe von Quadraten lässt sich mit reellen Zahlen nicht in dieser Form faktorisieren.
Bei Faktoren den ganzen Summanden quadrieren: $(3y)^2 = 9y^2$ , nicht $3y^2$ .

Dritte binomische Formel