Betrag einer Zahl

Mittelstufe

|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

$x$: eine reelle Zahl
$|x|$: Betrag von x, der Abstand von x zur Null auf dem Zahlenstrahl

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf dem Zahlenstrahl und deshalb nie negativ.

Erklärung

Der Betrag $|x|$ gibt an, wie weit die Zahl $x$ auf dem Zahlenstrahl von der Null entfernt ist. Das Vorzeichen spielt dabei keine Rolle: $-7$ und $7$ sind beide $7$ Einheiten von der Null entfernt.

Die Fallunterscheidung bedeutet:

Ist $x$ positiv oder null, bleibt $x$ unverändert.
Ist $x$ negativ, nimmt man die Gegenzahl $-x$ , die dann positiv ist.

Der Betrag ist deshalb nie negativ. Weitere Eigenschaften:

$|x - y|$ ist der Abstand der Zahlen $x$ und $y$ auf dem Zahlenstrahl.
$|x| = \sqrt{x^2}$ und $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ .

Beispiele

|-7| = 7, \qquad |4{,}5| = 4{,}5, \qquad |3 - 10| = |-7| = 7

Der Abstand von $3$ und $10$ ist $|3 - 10| = |10 - 3| = 7$ .

Betragsgleichung: Welche Zahlen haben von $3$ den Abstand $5$ ?

|x - 3| = 5 \;\Leftrightarrow\; x - 3 = 5 \;\lor\; x - 3 = -5

Die Lösungen sind $x_1 = 8$ und $x_2 = -2$ .

Typische Fehler

$-x$ für immer negativ halten. Für $x = -4$ ist $-x = 4$ . Deshalb gilt $|x| = -x$ für negative $x$ .
Den Betrag einer Summe in Beträge aufteilen: $|3 + (-5)| = 2$ , aber $|3| + |-5| = 8$ .
Bei Betragsgleichungen nur den positiven Fall rechnen. $|x - 3| = 5$ hat zwei Lösungen.
Eine Lösung für $|x| = -2$ suchen. Ein Betrag ist nie negativ, die Gleichung hat keine Lösung.

Betrag einer Zahl