Potenzen mit rationalen Exponenten

Mittelstufe

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

Voraussetzung: $a > 0,$ $m, n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$a$: positive Basis
$m$: Zähler des Exponenten
$n$: Nenner des Exponenten, wird zum Wurzelexponenten

Ein Bruch im Exponenten bedeutet Wurzel und Potenz, ein Minus davor den Kehrwert; die Potenzgesetze gelten weiter.

Erklärung

Mit der Regel „Wurzel als Potenz" bekommen auch Brüche als Exponenten einen Sinn. Für eine positive Basis $a$ gilt:

Der Nenner $n$ des Exponenten ist der Wurzelexponent.
Der Zähler $m$ ist der gewöhnliche Exponent.
Ein Minus im Exponenten bedeutet wie bei ganzen Zahlen den Kehrwert.

Ob man zuerst die Wurzel zieht oder zuerst potenziert, ist egal. Beim Kopfrechnen ist meist „erst Wurzel, dann Potenz" einfacher, weil die Zahlen klein bleiben.

Dezimalzahlen im Exponenten schreibt man zuerst als Bruch: $0{,}5 = \frac{1}{2}$ , $0{,}75 = \frac{3}{4}$ .

Alle Potenzgesetze gelten weiter, wenn die Basis positiv ist:

a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}

Beispiele

27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}

16^{0{,}75} = 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 \qquad 100^{0{,}5} = \sqrt{100} = 10

32^{-0{,}4} = 32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\left(\sqrt[5]{32}\right)^2} = \frac{1}{4}

Terme vereinfachen mit den Potenzgesetzen:

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} \qquad \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = a^{\frac{1}{2}}

Typische Fehler

Das Minus als negatives Ergebnis lesen: $27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{9}$ , nicht $-9$ .
Den Exponenten falsch umwandeln: $0{,}75 = \frac{3}{4}$ , also vierte Wurzel und dritte Potenz, nicht umgekehrt.
Beim Multiplizieren die Exponenten multiplizieren statt addieren: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$ , nicht $x^{\frac{1}{6}}$ .
Die Regel auf negative Basen anwenden. Für $a < 0$ sind Potenzen mit Bruchexponenten nicht allgemein definiert.

Potenzen mit rationalen Exponenten