Lineare Algebra

Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform)

Oberstufe

\operatorname{dist}(Q, E) = \frac{|n_1 q_1 + n_2 q_2 + n_3 q_3 - d|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}

Voraussetzung: $E\colon n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d,$ $(n_1, n_2, n_3) \neq (0, 0, 0)$

$\operatorname{dist}(Q, E)$: Abstand des Punkts Q von der Ebene E (oft auch d(Q, E) geschrieben)
$Q(q_1 \mid q_2 \mid q_3)$: Punkt, dessen Abstand gesucht ist
$n_1, n_2, n_3$: Koordinaten des Normalenvektors aus der Koordinatenform von E
$d$: rechte Seite der Koordinatenform von E

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene erhält man, indem man ihn in die durch die Normalenlänge geteilte Koordinatenform einsetzt.

Abstand Punkt–Gerade im Raum

Oberstufe

\operatorname{dist}(Q, g) = \frac{|(\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u},$ $\vec{u} \neq \vec{0}$

$\operatorname{dist}(Q, g)$: Abstand des Punkts Q von der Geraden g
$\vec{q}$: Ortsvektor des Punkts Q
$\vec{p}$: Stützvektor der Geraden g
$\vec{u}$: Richtungsvektor der Geraden g

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden ist die Parallelogrammfläche aus Richtungs- und Verbindungsvektor geteilt durch die Länge des Richtungsvektors.

Abstand windschiefer Geraden

Oberstufe

d(g, h) = \frac{\left|(\vec{q} - \vec{p}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left|\vec{u} \times \vec{v}\right|}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u},$ $h\colon \vec{x} = \vec{q} + t \cdot \vec{v},$ $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$

$d(g, h)$: kürzester Abstand der Geraden g und h
$\vec{p}, \vec{q}$: Stützvektoren von g und h
$\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren von g und h
$\vec{u} \times \vec{v}$: Kreuzprodukt, steht senkrecht auf beiden Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Projektion des Verbindungsvektors auf die gemeinsame Normale.

Basiswechsel

Studium

[\vec v]_B = S^{-1} \vec v, \qquad A_B = S^{-1} A\, S, \qquad S = (\vec b_1 \mid \cdots \mid \vec b_n)

Voraussetzung: $\vec b_1, \ldots, \vec b_n$ $Basis des$ $\mathbb{R}^n,$ $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$B$: neue Basis aus den Vektoren b₁, …, bₙ
$S$: Basiswechselmatrix, die neuen Basisvektoren als Spalten (in Standardkoordinaten)
$\vec v$: Vektor in Standardkoordinaten
$[\vec v]_B$: Koordinatenvektor von v bezüglich B
$A$: Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Standardbasis
$A_B$: Matrix derselben Abbildung bezüglich der Basis B

Mit der Matrix S der neuen Basisvektoren rechnet man Koordinaten über S⁻¹v und Abbildungsmatrizen über S⁻¹AS um.

Betrag eines Vektors

Oberstufe

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

$\vec{a}$: Vektor mit den Koordinaten a₁, a₂, a₃
$a_1, a_2, a_3$: Koordinaten des Vektors
$|\vec{a}|$: Betrag, also die Länge des Pfeils

Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Koordinaten.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Studium

|\langle \vec u, \vec v \rangle| \le \lVert \vec u \rVert \cdot \lVert \vec v \rVert

Voraussetzung: $\vec u, \vec v \in V,$ $V$ $Vektorraum mit Skalarprodukt$

$\vec u, \vec v$: Vektoren eines Raums mit Skalarprodukt, z.B. des Rⁿ
$\langle \vec u, \vec v \rangle$: Skalarprodukt von u und v
$\lVert \vec u \rVert$: Norm (Länge) von u, gleich der Wurzel aus ⟨u, u⟩

Der Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren ist höchstens das Produkt ihrer Längen; Gleichheit nur bei parallelen Vektoren.

Cramersche Regel

Studium

x_i = \frac{\det A_i}{\det A}

Voraussetzung: $A\vec{x} = \vec{b},$ $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\det A \neq 0$

$A$: quadratische Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems
$\vec{b}$: rechte Seite des Gleichungssystems
$A_i$: Matrix A, in der die i-te Spalte durch b ersetzt ist
$x_i$: i-te Unbekannte der eindeutigen Lösung

Bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen ist jede Unbekannte ein Quotient zweier Determinanten.

Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Studium

f(\vec b_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, \vec c_i \quad (j = 1, \ldots, n), \qquad M_C^B(f) = (a_{ij})

Voraussetzung: $f\colon V \to W$ $linear$ $,$ $B = (\vec b_1, \ldots, \vec b_n)$ $Basis von$ $V,$ $C = (\vec c_1, \ldots, \vec c_m)$ $Basis von$ $W$

$f$: lineare Abbildung von V nach W
$B$: Basis des Definitionsraums V mit n Vektoren
$C$: Basis des Zielraums W mit m Vektoren
$a_{ij}$: i-te Koordinate von f(b_j) bezüglich C
$M_C^B(f)$: Darstellungsmatrix, eine m × n-Matrix

Die j-te Spalte der Darstellungsmatrix enthält die Koordinaten des Bildes des j-ten Basisvektors.

Definitheit symmetrischer Matrizen

Studium

A \text{ positiv definit} \iff \vec x^{T} A\, \vec x > 0 \text{ für alle } \vec x \neq \vec 0 \iff \det A_k > 0 \text{ für } k = 1, \ldots, n

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $A^{T} = A$

$A$: symmetrische n × n-Matrix
$\vec x$: beliebiger Vektor im Rⁿ
$\vec x^{T} A\, \vec x$: quadratische Form von A, eine reelle Zahl
$A_k$: linke obere k × k-Teilmatrix von A, ihre Determinante heißt führender Hauptminor

Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn ihre quadratische Form für x ≠ 0 positiv ist, also wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind.

Determinante einer 2×2-Matrix

Oberstufe

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

$a, d$: Einträge auf der Hauptdiagonalen (oben links, unten rechts)
$b, c$: Einträge auf der Nebendiagonalen (oben rechts, unten links)

Die Determinante einer 2×2-Matrix ist das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale.

Determinante einer 3×3-Matrix (Regel von Sarrus)

Studium

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Voraussetzung: $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$

$A$: quadratische Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten
$a_{ij}$: Eintrag in Zeile i und Spalte j
$\det A$: Determinante von A

Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante einer 3×3-Matrix aus drei positiven und drei negativen Diagonalprodukten.

Diagonalisierung

Studium

A = S D S^{-1}, \qquad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}, \qquad S = (\vec v_1 \mid \cdots \mid \vec v_n)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $hat$ $n$ $linear unabhängige Eigenvektoren$ $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$

$A$: diagonalisierbare n × n-Matrix
$D$: Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen
$S$: invertierbare Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$: Eigenwerte von A, in derselben Reihenfolge wie die Eigenvektoren
$\vec v_1, \ldots, \vec v_n$: Eigenvektoren mit A v_k = λ_k v_k

Eine Matrix mit n linear unabhängigen Eigenvektoren lässt sich als S D S⁻¹ mit der Diagonalmatrix D der Eigenwerte schreiben.

Dimensionsformel (Rangsatz)

Studium

\dim V = \dim \operatorname{Kern} f + \dim \operatorname{Bild} f

Voraussetzung: $f\colon V \to W$ $linear$ $,$ $\dim V < \infty$

$f$: lineare Abbildung von V nach W
$V$: endlichdimensionaler Vektorraum, der Definitionsbereich von f
$W$: Vektorraum, in dem die Bilder von f liegen
$\operatorname{Kern} f$: Kern von f, alle Vektoren v mit f(v) = 0
$\operatorname{Bild} f$: Bild von f, alle Vektoren f(v) mit v aus V
$\dim$: Dimension, die Anzahl der Vektoren einer Basis

Die Dimension des Definitionsraums einer linearen Abbildung ist die Summe der Dimensionen von Kern und Bild.

Drehmatrix in der Ebene

Oberstufe

R(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}

$R(\varphi)$: Drehmatrix zum Drehwinkel φ
$\varphi$: Drehwinkel, positiv gegen den Uhrzeigersinn

Die Drehmatrix R(φ) dreht jeden Vektor der Ebene um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Studium

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E) = 0

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$A$: quadratische Matrix
$E$: Einheitsmatrix derselben Größe (auch I geschrieben)
$\lambda$: Eigenwert von A, eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
$\chi_A(\lambda)$: charakteristisches Polynom von A, ein Polynom vom Grad n in λ

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms det(A − λE).

Einheitsvektor

Oberstufe

\vec{a}^{\,0} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}

Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0}$

$\vec{a}$: beliebiger Vektor außer dem Nullvektor
$|\vec{a}|$: Betrag (Länge) von a
$\vec{a}^{\,0}$: Einheitsvektor, zeigt in dieselbe Richtung wie a und hat die Länge 1

Teilt man einen Vektor durch seine Länge, erhält man einen Vektor der Länge 1 in dieselbe Richtung.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren

Oberstufe

F = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|

$F$: Flächeninhalt des Dreiecks
$A, B, C$: Eckpunkte des Dreiecks im Raum
$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$: Verbindungsvektoren von A zu den beiden anderen Ecken

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist der halbe Betrag des Kreuzprodukts zweier Seitenvektoren.

Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Vektoren

Oberstufe

F = |\vec{a} \times \vec{b}|

Voraussetzung: $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$

$F$: Flächeninhalt des Parallelogramms
$\vec{a}, \vec{b}$: die beiden Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen (zwei anliegende Seiten)
$\vec{a} \times \vec{b}$: Kreuzprodukt der beiden Vektoren

Der Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist der Betrag ihres Kreuzprodukts.

Gauß-Algorithmus

Oberstufe

\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right) \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & \ast & \ast \end{array}\right)

$a_{ij}$: Koeffizient der Unbekannten xⱼ in der i-ten Gleichung
$b_i$: rechte Seite der i-ten Gleichung
$\ast$: beliebige Zahl, die beim Umformen entsteht

Man formt ein lineares Gleichungssystem mit erlaubten Zeilenumformungen in Stufenform um und löst es von unten nach oben.

Gram-Schmidt-Verfahren

Studium

\vec u_k = \vec v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec v_k, \vec u_j \rangle}{\langle \vec u_j, \vec u_j \rangle}\, \vec u_j, \qquad \vec w_k = \frac{\vec u_k}{\lVert \vec u_k \rVert}

Voraussetzung: $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$ $linear unabhängig$

$\vec v_1, \ldots, \vec v_n$: gegebene linear unabhängige Vektoren
$\vec u_k$: k-ter orthogonalisierter Vektor, beginnend mit u₁ = v₁
$\vec w_k$: k-ter normierter Vektor der Orthonormalbasis
$\langle \cdot, \cdot \rangle$: Skalarprodukt, im Rⁿ das Standardskalarprodukt
$\lVert \vec u_k \rVert$: Länge (Norm) von u_k

Man zieht von jedem Vektor seine Projektionen auf die bereits orthogonalisierten Vektoren ab und normiert danach.

Inverse einer 2×2-Matrix

Studium

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Voraussetzung: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$ $ad - bc \neq 0$

$A$: invertierbare 2×2-Matrix mit den Einträgen a, b, c, d
$a, b, c, d$: Einträge von A (a, b in der ersten Zeile, c, d in der zweiten)
$ad - bc$: Determinante von A
$A^{-1}$: inverse Matrix, es gilt A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E (Einheitsmatrix)

Die Inverse einer 2×2-Matrix erhält man durch Tauschen der Diagonale, Negieren der Nebendiagonale und Teilen durch die Determinante.

Inverse über die Adjunkte

Studium

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}(A), \qquad \operatorname{adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j} \det A_{ji}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\det A \neq 0$

$A$: invertierbare n × n-Matrix
$\operatorname{adj}(A)$: Adjunkte von A, die Transponierte der Kofaktormatrix
$A_{ji}$: Streichungsmatrix ohne Zeile j und Spalte i
$\det A$: Determinante von A

Die Inverse ist die Adjunkte, also die transponierte Matrix der Kofaktoren, geteilt durch die Determinante.

Koordinatenform einer Ebene

Oberstufe

E\colon n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d

Voraussetzung: $(n_1, n_2, n_3) \neq (0, 0, 0)$

$E$: Name der Ebene
$x_1, x_2, x_3$: Koordinaten eines beliebigen Punkts der Ebene
$n_1, n_2, n_3$: Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene
$d$: Konstante, d = n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ für einen Punkt P(p₁ | p₂ | p₃) der Ebene

Eine Ebene ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten eine lineare Gleichung erfüllen; die Koeffizienten bilden den Normalenvektor.

Kreuzprodukt

Oberstufe

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Voraussetzung: $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum
$a_1, a_2, a_3$: Koordinaten von a
$b_1, b_2, b_3$: Koordinaten von b
$\vec{a} \times \vec{b}$: Kreuzprodukt, ein Vektor, der auf a und b senkrecht steht

Das Kreuzprodukt zweier Raumvektoren ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht.

Kugelgleichung

Oberstufe

(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2

Voraussetzung: $r > 0$

$x_1, x_2, x_3$: Koordinaten eines Punkts auf der Kugeloberfläche
$M(m_1 \mid m_2 \mid m_3)$: Mittelpunkt der Kugel
$r$: Radius der Kugel

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M genau den Abstand r haben.

Lagebeziehung Gerade–Ebene

Oberstufe

\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0 \;\Rightarrow\; \text{genau ein Schnittpunkt}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \;\Rightarrow\; g \parallel E \text{ oder } g \subset E

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u},$ $E\colon \vec{n} \cdot \vec{x} = d,$ $\vec{u}, \vec{n} \neq \vec{0}$

$\vec{p}$: Stützvektor der Geraden g
$\vec{u}$: Richtungsvektor der Geraden g
$\vec{n}$: Normalenvektor der Ebene E
$d$: rechte Seite der Koordinatenform von E
$t$: Parameter der Geraden

Eine Gerade schneidet eine Ebene, liegt parallel zu ihr oder in ihr; man setzt die Gerade in die Koordinatenform ein.

Lagebeziehung zweier Ebenen

Oberstufe

\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \neq \vec{0} \;\Rightarrow\; E_1 \cap E_2 = s \text{ mit Richtungsvektor } \vec{n}_1 \times \vec{n}_2

Voraussetzung: $E_1\colon \vec{n}_1 \cdot \vec{x} = d_1,$ $E_2\colon \vec{n}_2 \cdot \vec{x} = d_2,$ $\vec{n}_1, \vec{n}_2 \neq \vec{0}$

$\vec{n}_1, \vec{n}_2$: Normalenvektoren der Ebenen E₁ und E₂
$d_1, d_2$: rechte Seiten der Koordinatenformen
$s$: Schnittgerade der beiden Ebenen

Zwei Ebenen sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Geraden; das entscheiden die Normalenvektoren.

Lagebeziehung zweier Geraden

Oberstufe

\vec{p} + s \cdot \vec{u} = \vec{q} + t \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u},$ $h\colon \vec{x} = \vec{q} + t \cdot \vec{v},$ $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$

$\vec{p}, \vec{q}$: Stützvektoren der Geraden g und h
$\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren der Geraden g und h
$s, t$: Parameter der beiden Geraden, getrennt benannt

Zwei Geraden im Raum sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief; man prüft Richtungsvektoren und Gleichsetzen.

Laplace-Entwicklung

Studium

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij} \det A_{ij}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $i \in \{1, \ldots, n\}$ $fest$

$A$: quadratische n × n-Matrix
$a_{ij}$: Eintrag von A in Zeile i und Spalte j
$A_{ij}$: (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die aus A durch Streichen von Zeile i und Spalte j entsteht
$n$: Zeilen- und Spaltenzahl von A
$j$: Spaltenindex, über den summiert wird
$i$: Nummer der Zeile, nach der entwickelt wird
$(-1)^{i+j}$: Vorzeichen nach dem Schachbrettmuster

Die Determinante ist die Summe über eine Zeile aus Eintrag mal Vorzeichen mal Determinante der Streichungsmatrix.

Lineare Unabhängigkeit

Studium

\lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \ldots + \lambda_k \vec v_k = \vec 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_k = 0

Voraussetzung: $\vec v_1, \ldots, \vec v_k \in V,$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}$

$\vec v_1, \ldots, \vec v_k$: Vektoren eines Vektorraums V
$\lambda_1, \ldots, \lambda_k$: reelle Koeffizienten
$\vec 0$: Nullvektor

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur mit lauter Nullkoeffizienten aus ihnen kombinieren lässt.

Linearkombination und lineare Abhängigkeit

Oberstufe

\vec{v} = r_1 \vec{a}_1 + r_2 \vec{a}_2 + \ldots + r_n \vec{a}_n

Voraussetzung: $r_1, \ldots, r_n \in \mathbb{R}$

$\vec{v}$: Vektor, der als Linearkombination dargestellt wird
$\vec{a}_1, \ldots, \vec{a}_n$: gegebene Vektoren
$r_1, \ldots, r_n$: reelle Koeffizienten, die Vorfaktoren der Vektoren

Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen gegebener Vektoren; lässt sich der Nullvektor nichttrivial so darstellen, sind sie linear abhängig.

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Studium

A\vec x = \vec b \text{ lösbar} \iff \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A \mid \vec b)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $\vec b \in \mathbb{R}^{m}$

$A$: Koeffizientenmatrix mit m Gleichungen und n Unbekannten
$\vec b$: rechte Seite
$\vec x$: Vektor der n Unbekannten
$(A \mid \vec b)$: erweiterte Koeffizientenmatrix
$\operatorname{rg}$: Rang einer Matrix

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn die erweiterte Matrix denselben Rang hat wie die Koeffizientenmatrix.

Matrizenmultiplikation

Studium

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$

$A = (a_{ik})$: Matrix mit m Zeilen und n Spalten
$B = (b_{kj})$: Matrix mit n Zeilen und p Spalten
$(AB)_{ij}$: Eintrag des Produkts in Zeile i und Spalte j; AB hat m Zeilen und p Spalten
$n$: Spaltenzahl von A, gleich der Zeilenzahl von B

Der Eintrag in Zeile i und Spalte j des Produkts AB ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Mittelpunkt und Schwerpunkt mit Vektoren

Oberstufe

\vec{m} = \frac{1}{2}\left(\vec{a} + \vec{b}\right), \qquad \vec{s} = \frac{1}{3}\left(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\right)

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$: Ortsvektoren der Punkte A, B und C
$\vec{m}$: Ortsvektor des Mittelpunkts M der Strecke AB
$\vec{s}$: Ortsvektor des Schwerpunkts S des Dreiecks ABC

Der Mittelpunkt einer Strecke ist das Mittel der Ortsvektoren der Endpunkte, der Schwerpunkt eines Dreiecks das der drei Ecken.

Normalenform einer Ebene

Oberstufe

E\colon (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

Voraussetzung: $\vec{n} \neq \vec{0}$

$E$: Name der Ebene
$\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punkts X der Ebene
$\vec{p}$: Stützvektor, Ortsvektor eines festen Punkts P der Ebene
$\vec{n}$: Normalenvektor, steht senkrecht auf der Ebene

Ein Punkt liegt in der Ebene, wenn der Vektor vom Stützpunkt zu ihm senkrecht auf dem Normalenvektor steht.

Normalgleichungen (Methode der kleinsten Quadrate)

Studium

A^{T} A\, \vec x = A^{T} \vec b

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $\vec b \in \mathbb{R}^{m}$

$A$: Koeffizientenmatrix eines meist überbestimmten Systems (m Gleichungen, n Unbekannte)
$\vec b$: rechte Seite, z.B. die Messwerte
$\vec x$: gesuchte Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate
$A^{T}$: Transponierte von A

Der Vektor x, der den Fehler |Ax − b| minimiert, löst das quadratische System AᵀAx = Aᵀb.

Orthogonale Matrix

Studium

Q^{T} Q = Q Q^{T} = E \quad\Longleftrightarrow\quad Q^{-1} = Q^{T}

Voraussetzung: $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$Q$: quadratische reelle Matrix
$Q^{T}$: Transponierte von Q
$E$: n × n-Einheitsmatrix

Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bilden; dann ist ihre Inverse die Transponierte.

Orthogonale Projektion

Studium

\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \, \vec{b}

Voraussetzung: $\vec{b} \neq \vec{0}$

$\vec{a}$: Vektor, der projiziert wird
$\vec{b}$: Vektor, auf dessen Richtung projiziert wird (nicht der Nullvektor)
$\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})$: orthogonale Projektion von a auf die Gerade durch 0 in Richtung b
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt

Die orthogonale Projektion zerlegt einen Vektor in einen Anteil parallel und einen Anteil senkrecht zu einer Richtung.

Orthogonalität von Vektoren

Oberstufe

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0},$ $\vec{b} \neq \vec{0}$

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren, keiner davon der Nullvektor
$\perp$: steht senkrecht auf (ist orthogonal zu)
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt der beiden Vektoren

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Parameterform einer Ebene

Oberstufe

E\colon \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $\vec{u}, \vec{v}$ $linear$ $unabhängig$ $,$ $r, s \in \mathbb{R}$

$E$: Name der Ebene
$\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene
$\vec{p}$: Stützvektor, Ortsvektor eines festen Punkts P der Ebene
$\vec{u}, \vec{v}$: Spannvektoren (Richtungsvektoren), zwei nicht parallele Richtungen in der Ebene
$r, s$: Parameter, reelle Zahlen

Jeder Punkt einer Ebene entsteht aus einem festen Punkt plus Vielfachen zweier nicht paralleler Spannvektoren.

Parameterform einer Geraden

Oberstufe

g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}

Voraussetzung: $\vec{u} \neq \vec{0},$ $t \in \mathbb{R}$

$g$: Name der Geraden
$\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Geraden
$\vec{p}$: Stützvektor, Ortsvektor eines festen Punkts P der Geraden
$\vec{u}$: Richtungsvektor, gibt die Richtung der Geraden an
$t$: Parameter, eine reelle Zahl; jeder Wert liefert einen Punkt der Geraden

Jeder Punkt einer Geraden entsteht aus einem festen Punkt plus einem Vielfachen des Richtungsvektors.

Rang einer Matrix

Studium

\operatorname{rg}(A) = \dim \operatorname{Bild} A = \operatorname{rg}(A^{T}) \le \min(m, n)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$

$A$: Matrix mit m Zeilen und n Spalten
$\operatorname{rg}(A)$: Rang von A, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten (oder Zeilen)
$\operatorname{Bild} A$: Spaltenraum von A, alle Vektoren Ax
$A^{T}$: transponierte Matrix von A
$m, n$: Zeilen- und Spaltenzahl von A

Der Rang einer Matrix ist die Höchstzahl linear unabhängiger Spalten; er ist gleich dem Zeilenrang und höchstens min(m, n).

Rechenregeln für Determinanten

Studium

\det(AB) = \det A \cdot \det B, \qquad \det(A^{T}) = \det A, \qquad \det(\lambda A) = \lambda^{n} \det A

Voraussetzung: $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\lambda \in \mathbb{R}$

$A, B$: quadratische Matrizen derselben Größe n × n
$A^{T}$: transponierte Matrix von A
$\lambda$: reelle Zahl (Skalar)
$n$: Zeilen- und Spaltenzahl der Matrizen

Die Determinante ist multiplikativ, ändert sich beim Transponieren nicht und skaliert bei λA mit λ hoch n.

Rechenregeln für die Inverse

Studium

(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \qquad (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}, \qquad (\lambda A)^{-1} = \tfrac{1}{\lambda} A^{-1}

Voraussetzung: $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $invertierbar$ $,$ $\lambda \neq 0$

$A, B$: invertierbare n × n-Matrizen
$A^{-1}$: Inverse von A, es gilt A A⁻¹ = A⁻¹ A = E
$A^{T}$: Transponierte von A
$\lambda$: reelle Zahl ungleich 0

Die Inverse eines Produkts ist das Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge; Inverse und Transponierte vertauschen.

Rechenregeln für die Transponierte

Studium

(AB)^{T} = B^{T} A^{T}, \qquad (A + C)^{T} = A^{T} + C^{T}, \qquad (A^{T})^{T} = A

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $B \in \mathbb{R}^{n \times p},$ $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$

$A, B, C$: Matrizen, deren Größen das Produkt AB und die Summe A + C erlauben
$A^{T}$: Transponierte von A, Eintrag (i, j) von A^T ist Eintrag (j, i) von A

Beim Transponieren eines Produkts dreht sich die Reihenfolge um; Summe und doppeltes Transponieren verhalten sich einfach.

Schnittwinkel Gerade–Ebene

Oberstufe

\sin\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}

Voraussetzung: $\vec{u} \neq \vec{0},$ $\vec{n} \neq \vec{0},$ $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$

$\alpha$: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
$\vec{u}$: Richtungsvektor der Geraden
$\vec{n}$: Normalenvektor der Ebene

Der Sinus des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene ergibt sich aus Richtungsvektor und Normalenvektor.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Oberstufe

\cos\alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}

Voraussetzung: $\vec{n}_1 \neq \vec{0},$ $\vec{n}_2 \neq \vec{0},$ $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$

$\alpha$: Schnittwinkel der beiden Ebenen
$\vec{n}_1, \vec{n}_2$: Normalenvektoren der beiden Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der spitze Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.

Skalarprodukt

Oberstufe

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren im Raum
$a_1, a_2, a_3$: Koordinaten von a
$b_1, b_2, b_3$: Koordinaten von b

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer passenden Koordinaten, also eine Zahl.

Spatprodukt

Oberstufe

V = \left|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right|

Voraussetzung: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$

$V$: Volumen des Spats
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$: drei Vektoren, die von einer gemeinsamen Ecke ausgehen und den Spat aufspannen
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$: Spatprodukt, Kreuzprodukt von a und b, danach Skalarprodukt mit c

Das Volumen des von drei Vektoren aufgespannten Spats ist der Betrag ihres Spatprodukts.

Spiegelung eines Punkts an einer Ebene

Oberstufe

\vec{p}\,' = \vec{p} - 2 \cdot \frac{\vec{n} \cdot \vec{p} - d}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \cdot \vec{n}

Voraussetzung: $E\colon \vec{n} \cdot \vec{x} = d,$ $\vec{n} \neq \vec{0}$

$\vec{p}$: Ortsvektor des Punkts P, der gespiegelt wird
$\vec{p}\,'$: Ortsvektor des Spiegelpunkts P'
$\vec{n}$: Normalenvektor der Ebene E
$d$: rechte Seite der Koordinatenform von E

Den Spiegelpunkt erhält man, indem man vom Punkt aus entlang der Normalen doppelt so weit geht wie bis zur Ebene.

Spur einer Matrix

Studium

\operatorname{Spur}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \ldots + a_{nn}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$A$: quadratische n × n-Matrix
$a_{ii}$: Diagonaleinträge von A
$\operatorname{Spur}(A)$: Spur von A, auch tr(A) geschrieben

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonaleinträge; sie ist linear und es gilt Spur(AB) = Spur(BA).

Spur und Determinante als Summe und Produkt der Eigenwerte

Studium

\operatorname{Spur}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n, \qquad \det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}$ $alle Eigenwerte mit Vielfachheit$

$A$: quadratische n × n-Matrix
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$: Eigenwerte von A, nach algebraischer Vielfachheit wiederholt, eventuell komplex
$\operatorname{Spur}(A)$: Summe der Diagonaleinträge von A
$\det A$: Determinante von A

Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix ist ihre Spur, das Produkt aller Eigenwerte ihre Determinante.

Spurpunkte einer Geraden

Oberstufe

S_{12}\colon\ p_3 + t \cdot u_3 = 0 \;\Rightarrow\; t = -\frac{p_3}{u_3}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u},$ $u_3 \neq 0$

$S_{12}$: Spurpunkt in der x₁x₂-Ebene, also der Punkt der Geraden mit x₃ = 0
$p_3$: dritte Koordinate des Stützvektors
$u_3$: dritte Koordinate des Richtungsvektors
$t$: Parameterwert, der in die Geradengleichung eingesetzt den Spurpunkt liefert

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen; man setzt die passende Koordinate null.

Verbindungsvektor

Oberstufe

\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}

$A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$: Anfangspunkt (Fuß) des Pfeils
$B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$: Endpunkt (Spitze) des Pfeils
$\vec{a}, \vec{b}$: Ortsvektoren der Punkte A und B, also die Pfeile vom Ursprung zu A und B
$\overrightarrow{AB}$: Verbindungsvektor, der Pfeil von A nach B

Der Vektor von A nach B ist der Ortsvektor von B minus den Ortsvektor von A, also „Spitze minus Fuß“.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Oberstufe

\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0},$ $\vec{b} \neq \vec{0},$ $0^\circ \leq \varphi \leq 180^\circ$

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren, keiner davon der Nullvektor
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt der beiden Vektoren
$|\vec{a}|, |\vec{b}|$: Beträge (Längen) der Vektoren
$\varphi$: Winkel zwischen den Vektoren, zwischen 0° und 180°

Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist ihr Skalarprodukt geteilt durch das Produkt ihrer Längen.