Spurpunkte einer Geraden

Oberstufe

S_{12}\colon\ p_3 + t \cdot u_3 = 0 \;\Rightarrow\; t = -\frac{p_3}{u_3}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u},$ $u_3 \neq 0$

$S_{12}$: Spurpunkt in der x₁x₂-Ebene, also der Punkt der Geraden mit x₃ = 0
$p_3$: dritte Koordinate des Stützvektors
$u_3$: dritte Koordinate des Richtungsvektors
$t$: Parameterwert, der in die Geradengleichung eingesetzt den Spurpunkt liefert

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen; man setzt die passende Koordinate null.

Erklärung

Eine Gerade im Raum schneidet jede der drei Koordinatenebenen in höchstens einem Punkt, sofern sie nicht ganz in ihr liegt. Diese Schnittpunkte heißen Spurpunkte. Sie helfen, die Lage einer Geraden im Schrägbild zu zeichnen.

In der $x_1x_2$ -Ebene ist $x_3 = 0$ . Man setzt also die dritte Zeile der Geradengleichung gleich null, berechnet $t$ und setzt $t$ in die Geradengleichung ein. Entsprechend:

$S_{12}$ (in der $x_1x_2$ -Ebene): $x_3 = 0$ , braucht $u_3 \neq 0$ .
$S_{13}$ (in der $x_1x_3$ -Ebene): $x_2 = 0$ , braucht $u_2 \neq 0$ .
$S_{23}$ (in der $x_2x_3$ -Ebene): $x_1 = 0$ , braucht $u_1 \neq 0$ .

Ist die passende Koordinate des Richtungsvektors $0$ , verläuft die Gerade parallel zu dieser Koordinatenebene. Dann gibt es keinen Spurpunkt, oder die Gerade liegt ganz in der Ebene, wenn auch die Koordinate des Stützvektors $0$ ist.

Beispiele

g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

$S_{12}$ : $4 - 2t = 0$ ergibt $t = 2$ , also $S_{12}(4 \mid 1 \mid 0)$ .
$S_{13}$ : $-1 + t = 0$ ergibt $t = 1$ , also $S_{13}(3 \mid 0 \mid 2)$ .
$S_{23}$ : $2 + t = 0$ ergibt $t = -2$ , also $S_{23}(0 \mid -3 \mid 8)$ .

Die Gerade $h\colon \vec{x} = (1,\ 2,\ 3) + t \cdot (1,\ 1,\ 0)$ hat keinen Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene: Die dritte Zeile $3 + 0 \cdot t = 0$ hat keine Lösung, $h$ verläuft parallel zu dieser Ebene.

Typische Fehler

Den Parameter $t$ als Spurpunkt angeben. Erst das Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Punkt.
Die falsche Koordinate null setzen: In der $x_1x_2$ -Ebene ist $x_3 = 0$ , nicht $x_1$ oder $x_2$ .
Bei $u_3 = 0$ durch null teilen, statt zu erkennen, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

Spurpunkte einer Geraden