Lagebeziehung zweier Geraden

Oberstufe

\vec{p} + s \cdot \vec{u} = \vec{q} + t \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u},$ $h\colon \vec{x} = \vec{q} + t \cdot \vec{v},$ $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$

$\vec{p}, \vec{q}$: Stützvektoren der Geraden g und h
$\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren der Geraden g und h
$s, t$: Parameter der beiden Geraden, getrennt benannt

Zwei Geraden im Raum sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief; man prüft Richtungsvektoren und Gleichsetzen.

Erklärung

Zwei Geraden im Raum können vier verschiedene Lagen zueinander haben. Man prüft in zwei Schritten:

Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander ( $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ $v = k \cdot u$ )?
- Ja, und der Stützpunkt von $g$ liegt auf $h$ : Die Geraden sind identisch.
- Ja, aber der Stützpunkt von $g$ liegt nicht auf $h$ : Die Geraden sind echt parallel.
Wenn nicht, setzt man die Geradengleichungen gleich. Das ergibt drei Gleichungen für zwei Unbekannte $s$ $s$ und $t$ $t$ .
- Es gibt eine Lösung: Die Geraden schneiden sich. Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen.
- Es gibt keine Lösung: Die Geraden sind windschief. Sie sind nicht parallel und schneiden sich trotzdem nicht.

Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer. Beim Gleichsetzen müssen die Parameter verschiedene Namen haben.

Beispiele

Gegeben ist $g\colon \vec{x} = (1,\ 0,\ 2) + s \cdot (1,\ 2,\ -1)$ .

Windschief: $h_1\colon \vec{x} = (2,\ 3,\ 0) + t \cdot (0,\ 1,\ 1)$ . Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen. Gleichsetzen:

\begin{aligned} 1 + s &= 2 \\ 2s &= 3 + t \\ 2 - s &= t \end{aligned}

Aus der ersten Zeile folgt $s = 1$ , aus der zweiten $t = -1$ . Die dritte Zeile ergibt aber $t = 1$ . Widerspruch, $g$ und $h_1$ sind windschief.

Schneidend: $h_2\colon \vec{x} = (0,\ 4,\ -1) + t \cdot (1,\ -1,\ 1)$ . Gleichsetzen ergibt $1 + s = t$ , $2s = 4 - t$ und $2 - s = -1 + t$ . Aus den ersten beiden Zeilen folgt $s = 1$ , $t = 2$ , und die dritte Zeile passt mit $1 = 1$ . Der Schnittpunkt ist $S(2 \mid 2 \mid 1)$ .

Echt parallel: $h_3\colon \vec{x} = (3,\ 4,\ 1) + t \cdot (-2,\ -4,\ 2)$ . Hier ist $(-2,\ -4,\ 2) = -2 \cdot (1,\ 2,\ -1)$ . Liegt $(1 \mid 0 \mid 2)$ auf $h_3$ ? Aus $3 - 2t = 1$ folgt $t = 1$ , die zweite Zeile passt mit $4 - 4 = 0$ , die dritte liefert aber $1 + 2 = 3 \neq 2$ . Also echt parallel.

Typische Fehler

Beide Geraden mit demselben Parameter $t$ gleichsetzen. Dann sucht man nur Punkte, die zum gleichen Parameterwert gehören.
Nur zwei der drei Zeilen lösen und die dritte nicht prüfen. Erst die dritte Zeile entscheidet zwischen schneidend und windschief.
Den ersten Schritt auslassen. Bei parallelen Richtungsvektoren hat das Gleichungssystem keine oder unendlich viele Lösungen, das muss man dann richtig deuten.

Lagebeziehung zweier Geraden