Cramersche Regel

Studium

x_i = \frac{\det A_i}{\det A}

Voraussetzung: $A\vec{x} = \vec{b},$ $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\det A \neq 0$

$A$: quadratische Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems
$\vec{b}$: rechte Seite des Gleichungssystems
$A_i$: Matrix A, in der die i-te Spalte durch b ersetzt ist
$x_i$: i-te Unbekannte der eindeutigen Lösung

Bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen ist jede Unbekannte ein Quotient zweier Determinanten.

Erklärung

Die Cramersche Regel löst ein lineares Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten direkt mit Determinanten:

Die Determinante $\det A$ der Koeffizientenmatrix berechnen. Ist sie $0$ , ist die Regel nicht anwendbar: Das System hat dann keine oder unendlich viele Lösungen.
Für jede Unbekannte $x_i$ die Matrix $A_i$ bilden: In $A$ wird die $i$ -te Spalte durch die rechte Seite $\vec{b}$ ersetzt.
$x_i = \det A_i / \det A$ .

Die Regel ist vor allem für $2 \times 2$ - und $3 \times 3$ -Systeme praktisch und für theoretische Aussagen nützlich (z.B. dass die Lösung stetig von den Koeffizienten abhängt). Für große Systeme ist das Gauß-Verfahren deutlich weniger Rechenaufwand.

Beispiele

$2x_1 - x_2 = 1$ und $x_1 + 3x_2 = 11$ :

\det A = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7, \quad \det A_1 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 11 & 3 \end{vmatrix} = 14, \quad \det A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 11 \end{vmatrix} = 21

x_1 = \frac{14}{7} = 2, \qquad x_2 = \frac{21}{7} = 3

Probe: $2 \cdot 2 - 3 = 1$ und $2 + 3 \cdot 3 = 11$ .

Ein $3 \times 3$ -System: $x + y + z = 6$ , $2x - y + z = 3$ , $x + 2y - z = 2$ . Mit der Regel von Sarrus:

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7, \quad \det A_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7

\det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 14, \quad \det A_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 21

Also $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Typische Fehler

Eine Zeile statt einer Spalte durch $\vec{b}$ ersetzen.
Die Regel bei $\det A = 0$ anwenden. Dann ist das System nicht eindeutig lösbar.
Bei $A_i$ die übrigen Spalten verändern. Nur die $i$ -te Spalte wird ausgetauscht, alle anderen bleiben, wie sie sind.
Gleichungen nicht vorher ordnen: Die Unbekannten müssen in jeder Gleichung in derselben Reihenfolge stehen, fehlende Unbekannte bekommen den Koeffizienten $0$ .

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