Orthogonale Projektion

Studium

\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \, \vec{b}

Voraussetzung: $\vec{b} \neq \vec{0}$

$\vec{a}$: Vektor, der projiziert wird
$\vec{b}$: Vektor, auf dessen Richtung projiziert wird (nicht der Nullvektor)
$\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})$: orthogonale Projektion von a auf die Gerade durch 0 in Richtung b
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt

Die orthogonale Projektion zerlegt einen Vektor in einen Anteil parallel und einen Anteil senkrecht zu einer Richtung.

Erklärung

Die orthogonale Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$ ist der „Schatten“ von $\vec{a}$ auf der Geraden $\mathbb{R}\vec{b}$ , wenn das Licht senkrecht zu $\vec{b}$ einfällt. Sie liefert die eindeutige Zerlegung

\vec{a} = \underbrace{\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})}_{\parallel\, \vec{b}} + \underbrace{\left(\vec{a} - \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})\right)}_{\perp\, \vec{b}}.

Der Faktor $\lambda = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}}$ ergibt sich aus der Forderung $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ . Ist $\vec{b}$ ein Einheitsvektor, vereinfacht sich die Formel zu $(\vec{a} \cdot \vec{b})\, \vec{b}$ .

Eigenschaften und Anwendungen:

Die Länge der Projektion ist $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ . Ohne Betrag heißt $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ Skalarprojektion; ihr Vorzeichen zeigt, ob die Projektion in oder gegen die Richtung von $\vec{b}$ zeigt.
Die Abbildung $\vec{a} \mapsto \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})$ ist linear und idempotent: Zweimal projizieren ändert nichts mehr.
Der Rest $\vec{a} - \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})$ ist der Lotvektor. Seine Länge ist der Abstand der Spitze von $\vec{a}$ zur Geraden durch $0$ in Richtung $\vec{b}$ .
Das Gram-Schmidt-Verfahren zieht schrittweise solche Projektionen ab, um eine Orthogonalbasis zu bauen.

Die Formel gilt in jedem $\mathbb{R}^n$ und allgemein in Räumen mit Skalarprodukt.

Beispiele

Für $\vec{a} = (2,\ 1,\ 3)$ und $\vec{b} = (1,\ 1,\ 0)$ ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ und $\vec{b} \cdot \vec{b} = 2$ :

\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} - \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}

Probe: $\left(\frac{1}{2},\ -\frac{1}{2},\ 3\right) \cdot (1,\ 1,\ 0) = 0$ . Die Projektion hat die Länge $\frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2{,}12$ .

Projektion von $\vec{a} = (3,\ -4,\ 5)$ auf den Einheitsvektor $\vec{b} = (0,\ 1,\ 0)$ : Der Faktor ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ , also $\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = (0,\ -4,\ 0)$ . Bei Einheitsvektoren der Koordinatenachsen liest man die Projektion direkt ab.

Typische Fehler

Durch $|\vec{b}|$ statt durch $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$ teilen. Das ist nur bei Einheitsvektoren dasselbe.
$\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})$ und $\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})$ verwechseln. Die Projektion ist nicht symmetrisch.
Den Faktor $\lambda$ als Ergebnis angeben. Die Projektion ist der Vektor $\lambda \vec{b}$ , nicht die Zahl $\lambda$ .

Orthogonale Projektion