Rechenregeln für die Inverse

Studium

(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \qquad (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}, \qquad (\lambda A)^{-1} = \tfrac{1}{\lambda} A^{-1}

Voraussetzung: $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $invertierbar$ $,$ $\lambda \neq 0$

$A, B$: invertierbare n × n-Matrizen
$A^{-1}$: Inverse von A, es gilt A A⁻¹ = A⁻¹ A = E
$A^{T}$: Transponierte von A
$\lambda$: reelle Zahl ungleich 0

Die Inverse eines Produkts ist das Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge; Inverse und Transponierte vertauschen.

Erklärung

Für invertierbare $n \times n$ -Matrizen $A$ und $B$ gelten:

$(A^{-1})^{-1} = A$ .
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ : Das Produkt ist invertierbar, und die Reihenfolge kehrt sich um. Allgemein $(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}$ .
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ .
$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$ für $\lambda \neq 0$ .
$(A^k)^{-1} = (A^{-1})^k$ und $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ .

Die Produktregel prüft man direkt: $(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1} = A A^{-1} = E$ . Anschaulich: Wer erst $B$ und dann $A$ anwendet, muss zum Rückgängigmachen erst $A$ und dann $B$ zurücknehmen.

Für quadratische Matrizen reicht eine Seite: Aus $AX = E$ folgt schon $XA = E$ . Eine Regel für $(A + B)^{-1}$ gibt es nicht; die Summe zweier invertierbarer Matrizen muss nicht einmal invertierbar sein (z.B. $A + (-A) = 0$ ).

Beispiele

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Das Produkt ist $AB = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ mit Determinante $1$ , also $(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Die Regel liefert dasselbe:

B^{-1} A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

In falscher Reihenfolge ergibt sich $A^{-1} B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ , also nicht die Inverse von $AB$ .

Typische Fehler

$(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$ schreiben. Das stimmt nur, wenn $A$ und $B$ vertauschbar sind.
$(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ annehmen. Diese Regel gibt es nicht.
$(\lambda A)^{-1} = \lambda A^{-1}$ rechnen. Der Skalar wird ebenfalls invertiert: $\frac{1}{\lambda} A^{-1}$ .
Durch eine Matrix „teilen". Aus $AX = C$ folgt $X = A^{-1} C$ (Multiplikation von links), nicht $X = C A^{-1}$ .

Rechenregeln für die Inverse