Definitheit symmetrischer Matrizen

Studium

A \text{ positiv definit} \iff \vec x^{T} A\, \vec x > 0 \text{ für alle } \vec x \neq \vec 0 \iff \det A_k > 0 \text{ für } k = 1, \ldots, n

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $A^{T} = A$

$A$: symmetrische n × n-Matrix
$\vec x$: beliebiger Vektor im Rⁿ
$\vec x^{T} A\, \vec x$: quadratische Form von A, eine reelle Zahl
$A_k$: linke obere k × k-Teilmatrix von A, ihre Determinante heißt führender Hauptminor

Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn ihre quadratische Form für x ≠ 0 positiv ist, also wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind.

Erklärung

Eine symmetrische Matrix $A$ wird nach dem Vorzeichen ihrer quadratischen Form $q(\vec x) = \vec x^T A \vec x$ eingeteilt:

$A$ heißt	$q(\vec x)$ für alle $\vec x \neq \vec 0$	Eigenwerte
positiv definit	$> 0$	alle $> 0$
positiv semidefinit	$\ge 0$	alle $\ge 0$
negativ definit	$< 0$	alle $< 0$
negativ semidefinit	$\le 0$	alle $\le 0$
indefinit	nimmt positive und negative Werte an	positive und negative

Das Hauptminorenkriterium (nach Hurwitz oder Sylvester) prüft Definitheit ohne Eigenwerte. Man berechnet die führenden Hauptminoren $\det A_1, \ldots, \det A_n$ der linken oberen Teilmatrizen:

positiv definit $\iff$ alle $\det A_k > 0$ ,
negativ definit $\iff$ die Vorzeichen wechseln, beginnend mit $-$ : $(-1)^k \det A_k > 0$ ,
ist $\det A \neq 0$ und keins der beiden Muster liegt vor, ist $A$ indefinit.

Für Semidefinitheit reichen die führenden Hauptminoren nicht: Man muss alle Hauptminoren prüfen (alle Teilmatrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenauswahl) oder die Eigenwerte.

Anwendung: Bei Funktionen mehrerer Variablen entscheidet die Definitheit der Hesse-Matrix, ob ein kritischer Punkt ein Minimum (positiv definit), ein Maximum (negativ definit) oder ein Sattelpunkt (indefinit) ist.

Beispiele

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ hat die führenden Hauptminoren $2$ , $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3$ und $\det A = 4$ . Alle sind positiv, $A$ ist positiv definit. Man sieht es auch an der quadratischen Form:

\vec x^T A \vec x = x_1^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + x_3^2,

die nur für $\vec x = \vec 0$ verschwindet.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ hat $\det A_1 = 1 > 0$ , aber $\det A = -3 < 0$ . Sie ist indefinit, die Eigenwerte sind $3$ und $-1$ . Für $\vec x = (1,\ 1)$ ist $q = 6$ , für $\vec x = (1,\ -1)$ ist $q = -2$ .

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ hat die Minoren $-2 < 0$ und $3 > 0$ , das Vorzeichen wechselt passend: negativ definit.

Typische Fehler

Aus führenden Hauptminoren $\ge 0$ auf positive Semidefinitheit schließen. $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ hat die führenden Hauptminoren $0$ und $0$ , ist aber wegen $q(0, 1) = -1$ negativ semidefinit und nicht positiv semidefinit.
Für negative Definitheit „alle Minoren $< 0$ " verlangen. Richtig ist der Vorzeichenwechsel $-, +, -, \ldots$
Das Kriterium auf nicht symmetrische Matrizen anwenden. Dann vorher mit $\frac12(A + A^T)$ symmetrisieren, denn nur dieser Teil bestimmt die quadratische Form.
Nur die Diagonaleinträge betrachten. Positive Diagonale ist notwendig, aber nicht hinreichend, wie das zweite Beispiel zeigt.

Definitheit symmetrischer Matrizen