Diagonalisierung

Studium

A = S D S^{-1}, \qquad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}, \qquad S = (\vec v_1 \mid \cdots \mid \vec v_n)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $hat$ $n$ $linear unabhängige Eigenvektoren$ $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$

$A$: diagonalisierbare n × n-Matrix
$D$: Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen
$S$: invertierbare Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$: Eigenwerte von A, in derselben Reihenfolge wie die Eigenvektoren
$\vec v_1, \ldots, \vec v_n$: Eigenvektoren mit A v_k = λ_k v_k

Eine Matrix mit n linear unabhängigen Eigenvektoren lässt sich als S D S⁻¹ mit der Diagonalmatrix D der Eigenwerte schreiben.

Erklärung

Eine quadratische Matrix $A$ heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix $S$ und eine Diagonalmatrix $D$ gibt mit $A = S D S^{-1}$ , gleichwertig $S^{-1} A S = D$ . Die Spalten von $S$ sind dann Eigenvektoren, die Diagonale von $D$ enthält die zugehörigen Eigenwerte in derselben Reihenfolge. Geometrisch: In der Basis aus Eigenvektoren wirkt $A$ als reine Streckung entlang der Achsen.

Vorgehen:

Eigenwerte als Nullstellen von $\det(A - \lambda E)$ bestimmen.
Zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraums $\operatorname{Kern}(A - \lambda E)$ berechnen.
Sind es insgesamt $n$ Eigenvektoren, diese als Spalten in $S$ schreiben. Sonst ist $A$ nicht diagonalisierbar.

Kriterien:

$n$ verschiedene Eigenwerte: $A$ ist diagonalisierbar.
Allgemein: Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren, und für jeden Eigenwert ist die geometrische Vielfachheit (Dimension des Eigenraums) gleich der algebraischen (Vielfachheit als Nullstelle).
Jede reelle symmetrische Matrix ist diagonalisierbar, sogar mit orthogonalem $S$ .

Hauptanwendung sind Matrixpotenzen: $A^k = S D^k S^{-1}$ , und $D^k$ erhält man durch Potenzieren der Diagonaleinträge.

Beispiele

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $\lambda_1 = 2$ mit $\vec v_1 = (1,\ -2)$ und $\lambda_2 = 5$ mit $\vec v_2 = (1,\ 1)$ . Damit ist

S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad S^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

und $S D S^{-1} = A$ . Für $A^3$ potenziert man nur die Diagonale:

A^3 = S \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix} S^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 8 & 125 \\ -16 & 125 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 86 & 39 \\ 78 & 47 \end{pmatrix}.

Gegenbeispiel: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom $(1 - \lambda)^2$ , also den doppelten Eigenwert $1$ . Der Eigenraum $\operatorname{Kern}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ist aber nur eindimensional. Es gibt keine zwei unabhängigen Eigenvektoren, die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Typische Fehler

Eigenvektoren als Zeilen statt als Spalten in $S$ schreiben.
Die Reihenfolge in $D$ nicht an die Reihenfolge der Spalten von $S$ anpassen.
$A = S^{-1} D S$ statt $A = S D S^{-1}$ schreiben. Mit Eigenvektoren als Spalten von $S$ gilt $AS = SD$ , also $A = S D S^{-1}$ .
Aus einem doppelten Eigenwert schließen, dass $A$ nicht diagonalisierbar ist. Die Einheitsmatrix hat nur den Eigenwert $1$ und ist schon diagonal. Entscheidend ist die Dimension des Eigenraums.

Diagonalisierung