Normalenform einer Ebene

Erklärung

Statt zwei Richtungen in der Ebene kann man auch eine Richtung senkrecht zur Ebene angeben: den Normalenvektor $\vec{n}$. Ein Punkt $X$ liegt genau dann in der Ebene, wenn der Vektor $\overrightarrow{PX} = \vec{x} - \vec{p}$ senkrecht auf $\vec{n}$ steht, also wenn das Skalarprodukt $0$ ist.

Den Normalenvektor erhält man aus zwei Spannvektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ mit dem Kreuzprodukt: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$. Jedes Vielfache $k \cdot \vec{n}$ mit $k \neq 0$ ist ebenfalls ein Normalenvektor.

Multipliziert man das Skalarprodukt aus, erhält man die Koordinatenform $n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = \vec{n} \cdot \vec{p}$.

Beispiele

Die Ebene durch $P(1 \mid 0 \mid 2)$ mit den Spannvektoren $\vec{u} = (2,\ 1,\ 0)$ und $\vec{v} = (-1,\ 2,\ 3)$. Der Normalenvektor ist

Probe: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 6 - 6 + 0 = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v} = -3 - 12 + 15 = 0$. Die Normalenform lautet

Punktprobe für $B(3 \mid 1 \mid 2)$: $(2,\ 1,\ 0) \cdot (3,\ -6,\ 5) = 6 - 6 + 0 = 0$, $B$ liegt in $E$. Für $Q(2 \mid 0 \mid 3)$: $(1,\ 0,\ 1) \cdot (3,\ -6,\ 5) = 3 + 5 = 8 \neq 0$, $Q$ liegt nicht in $E$.

Typische Fehler

• Einen Spannvektor als Normalenvektor verwenden. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, nicht in ihr.
• Die Klammer weglassen und $\vec{x} \cdot \vec{n} = 0$ schreiben. Das beschreibt eine Ebene durch den Ursprung, nicht durch $P$.
• Beim Kreuzprodukt das Vorzeichen der mittleren Koordinate vergessen und so einen Vektor erhalten, der nicht senkrecht steht. Die Probe mit dem Skalarprodukt deckt das auf.