Spiegelung eines Punkts an einer Ebene

Oberstufe

\vec{p}\,' = \vec{p} - 2 \cdot \frac{\vec{n} \cdot \vec{p} - d}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \cdot \vec{n}

Voraussetzung: $E\colon \vec{n} \cdot \vec{x} = d,$ $\vec{n} \neq \vec{0}$

$\vec{p}$: Ortsvektor des Punkts P, der gespiegelt wird
$\vec{p}\,'$: Ortsvektor des Spiegelpunkts P'
$\vec{n}$: Normalenvektor der Ebene E
$d$: rechte Seite der Koordinatenform von E

Den Spiegelpunkt erhält man, indem man vom Punkt aus entlang der Normalen doppelt so weit geht wie bis zur Ebene.

Erklärung

Beim Spiegeln an einer Ebene $E$ liegt der Spiegelpunkt $P'$ auf der Senkrechten zu $E$ durch $P$ , der Lotgeraden, und zwar genauso weit hinter der Ebene wie $P$ davor. Der Lotfußpunkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $PP'$ .

Rechenweg wie in der Schule:

Lotgerade aufstellen: $\ell\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{n}$ .
Lotgerade in die Koordinatenform von $E$ einsetzen und $t$ berechnen.
Der Lotfußpunkt ist $\vec{f} = \vec{p} + t \cdot \vec{n}$ , der Spiegelpunkt $\vec{p}\,' = \vec{p} + 2t \cdot \vec{n}$ .

Die Formel oben fasst diese Schritte zusammen, denn das Einsetzen ergibt $t = -\frac{\vec{n} \cdot \vec{p} - d}{\vec{n} \cdot \vec{n}}$ .

Liegt $P$ in der Ebene, ist $\vec{n} \cdot \vec{p} = d$ und $P' = P$ . Um eine Gerade oder ein Dreieck zu spiegeln, spiegelt man zwei bzw. drei Punkte.

Beispiele

$E\colon x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 9$ und $P(2 \mid 3 \mid 5)$ . Lotgerade $\ell\colon \vec{x} = (2,\ 3,\ 5) + t \cdot (1,\ 2,\ 2)$ . Einsetzen:

(2 + t) + 2(3 + 2t) + 2(5 + 2t) = 18 + 9t = 9 \;\Rightarrow\; t = -1

Lotfußpunkt $F(1 \mid 1 \mid 3)$ , Probe: $1 + 2 + 6 = 9$ . Spiegelpunkt mit $2t = -2$ :

\vec{p}\,' = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Kontrolle: $P$ hat von $E$ den Abstand $\frac{|18 - 9|}{3} = 3$ , und $|\overrightarrow{PP'}| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$ .

Typische Fehler

Nur bis zum Lotfußpunkt gehen. $F$ ist der Mittelpunkt, der Spiegelpunkt liegt bei $2t$ .
Mit einem Richtungsvektor der Ebene statt mit dem Normalenvektor arbeiten. Die Lotgerade steht senkrecht auf $E$ .
Beim Einsetzen die Ebenengleichung nicht vollständig nach $t$ auflösen, z.B. die Konstante $d$ auf der falschen Seite stehen lassen.

Spiegelung eines Punkts an einer Ebene