Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Studium

|\langle \vec u, \vec v \rangle| \le \lVert \vec u \rVert \cdot \lVert \vec v \rVert

Voraussetzung: $\vec u, \vec v \in V,$ $V$ $Vektorraum mit Skalarprodukt$

$\vec u, \vec v$: Vektoren eines Raums mit Skalarprodukt, z.B. des Rⁿ
$\langle \vec u, \vec v \rangle$: Skalarprodukt von u und v
$\lVert \vec u \rVert$: Norm (Länge) von u, gleich der Wurzel aus ⟨u, u⟩

Der Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren ist höchstens das Produkt ihrer Längen; Gleichheit nur bei parallelen Vektoren.

Erklärung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung schätzt das Skalarprodukt zweier Vektoren durch ihre Längen ab. Sie gilt in jedem Vektorraum mit Skalarprodukt, also im $\mathbb{R}^n$ ebenso wie für Funktionen mit $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x)\,dx$ .

Gleichheit gilt genau dann, wenn $\vec u$ und $\vec v$ linear abhängig sind, also einer ein Vielfaches des anderen ist.

Im $\mathbb{R}^n$ ausgeschrieben:

\left(\sum_{k=1}^{n} u_k v_k\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^{n} u_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} v_k^2\right).

Folgerungen:

Für $\vec u, \vec v \neq \vec 0$ liegt $\frac{\langle \vec u, \vec v \rangle}{\lVert \vec u \rVert\,\lVert \vec v \rVert}$ zwischen $-1$ und $1$ . Erst dadurch ist der Winkel zwischen zwei Vektoren über den Kosinus wohldefiniert.
Die Dreiecksungleichung $\lVert \vec u + \vec v \rVert \le \lVert \vec u \rVert + \lVert \vec v \rVert$ folgt durch Ausmultiplizieren von $\lVert \vec u + \vec v \rVert^2$ .

Beweisidee: Für $\vec v \neq \vec 0$ ist $\lVert \vec u - t\vec v \rVert^2 \ge 0$ für alle $t$ . Das ist eine quadratische Funktion in $t$ ohne zwei Nullstellen, ihre Diskriminante ist also $\le 0$ . Ausgeschrieben ist das die Ungleichung.

Beispiele

$\vec u = (1,\ 2,\ 2)$ und $\vec v = (3,\ 0,\ 4)$ : $\langle \vec u, \vec v \rangle = 3 + 0 + 8 = 11$ , $\lVert \vec u \rVert = 3$ , $\lVert \vec v \rVert = 5$ . Es gilt $11 \le 15$ . Der Winkel ist $\arccos\frac{11}{15} \approx 42{,}8^\circ$ .

Mit $\vec u = (x,\ y,\ z)$ und $\vec v = (1,\ 1,\ 1)$ folgt $(x + y + z)^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)$ für alle reellen $x, y, z$ , mit Gleichheit genau bei $x = y = z$ .

Integralform mit $f(x) = x$ und $g(x) = 1$ auf $[0,\ 1]$ : $\left(\int_0^1 x\,dx\right)^2 = \frac14 \le \int_0^1 x^2\,dx \cdot \int_0^1 1\,dx = \frac13$ .

Typische Fehler

Den Betrag links weglassen und dann nur $\langle \vec u, \vec v \rangle \le \lVert \vec u \rVert\,\lVert \vec v \rVert$ zeigen. Das ist schwächer.
Normen quadrieren und vergessen, auch das Skalarprodukt zu quadrieren: Richtig ist $\langle \vec u, \vec v \rangle^2 \le \lVert \vec u \rVert^2\,\lVert \vec v \rVert^2$ .
Gleichheit für orthogonale Vektoren erwarten. Dort ist die linke Seite $0$ , Gleichheit gilt nur bei parallelen Vektoren (oder wenn ein Vektor $\vec 0$ ist).

Cauchy-Schwarz-Ungleichung