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Basiswechsel

Basiswechsel

Studium
[v⃗]B=S−1v⃗,AB=S−1A S,S=(b⃗1∣⋯∣b⃗n)[\vec v]_B = S^{-1} \vec v, \qquad A_B = S^{-1} A\, S, \qquad S = (\vec b_1 \mid \cdots \mid \vec b_n)

Voraussetzung: b⃗1,…,b⃗n\vec b_1, \ldots, \vec b_n Basis des Rn,\mathbb{R}^n, A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}

BB
neue Basis aus den Vektoren b₁, …, bₙ
SS
Basiswechselmatrix, die neuen Basisvektoren als Spalten (in Standardkoordinaten)
v⃗\vec v
Vektor in Standardkoordinaten
[v⃗]B[\vec v]_B
Koordinatenvektor von v bezüglich B
AA
Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Standardbasis
ABA_B
Matrix derselben Abbildung bezüglich der Basis B

Mit der Matrix S der neuen Basisvektoren rechnet man Koordinaten über S⁻¹v und Abbildungsmatrizen über S⁻¹AS um.

Erklärung

Eine Basis B=(b⃗1,…,b⃗n)B = (\vec b_1, \ldots, \vec b_n) legt fest, wie man Vektoren in Koordinaten beschreibt: Die Koordinaten [v⃗]B=(c1,…,cn)[\vec v]_B = (c_1, \ldots, c_n) sind die Zahlen mit v⃗=c1b⃗1+…+cnb⃗n\vec v = c_1 \vec b_1 + \ldots + c_n \vec b_n.

Schreibt man die Basisvektoren als Spalten in die Basiswechselmatrix SS, lautet diese Gleichung v⃗=S [v⃗]B\vec v = S\,[\vec v]_B. Daraus folgt:

  • Koordinaten umrechnen: [v⃗]B=S−1v⃗[\vec v]_B = S^{-1}\vec v. Die Richtung merkt man sich so: SS übersetzt von BB-Koordinaten in Standardkoordinaten, S−1S^{-1} zurück.
  • Abbildungsmatrix umrechnen: Hat eine lineare Abbildung in Standardkoordinaten die Matrix AA, dann hat sie in BB-Koordinaten die Matrix AB=S−1ASA_B = S^{-1} A S. Gelesen von rechts: BB-Koordinaten in Standardkoordinaten übersetzen (SS), abbilden (AA), zurückübersetzen (S−1S^{-1}).

Matrizen der Form S−1ASS^{-1} A S heißen ähnlich zu AA. Sie beschreiben dieselbe Abbildung in einer anderen Basis und haben dieselbe Spur, Determinante, denselben Rang und dieselben Eigenwerte. Die Diagonalisierung ist der Spezialfall, in dem BB aus Eigenvektoren besteht.

Beispiele

Basis B=((1, 1), (1, −1))B = \big((1,\ 1),\ (1,\ -1)\big), also S=(111−1)S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} und S−1=12(111−1)S^{-1} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Für v⃗=(3, 1)\vec v = (3,\ 1) ist [v⃗]B=S−1v⃗=(2, 1)[\vec v]_B = S^{-1}\vec v = (2,\ 1). Probe: 2⋅(1, 1)+1⋅(1, −1)=(3, 1)2 \cdot (1,\ 1) + 1 \cdot (1,\ -1) = (3,\ 1).

Die Scherung A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} hat in der Basis BB die Matrix

AB=S−1AS=12(111−1)(3−11−1)=(2−110).A_B = S^{-1} A S = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Kontrolle über die erste Spalte: Ab⃗1=(3, 1)=2b⃗1+1b⃗2A\vec b_1 = (3,\ 1) = 2\vec b_1 + 1\vec b_2, also ist die erste Spalte von ABA_B gleich (2, 1)(2,\ 1). Spur (22) und Determinante (11) stimmen mit denen von AA überein.

Typische Fehler

  • SS und S−1S^{-1} vertauschen, also [v⃗]B=Sv⃗[\vec v]_B = S\vec v rechnen. Probe: S [v⃗]BS\,[\vec v]_B muss wieder v⃗\vec v ergeben.
  • AB=SAS−1A_B = S A S^{-1} schreiben. Mit den Basisvektoren als Spalten von SS ist das falsch. Die Form SAS−1S A S^{-1} passt nur, wenn SS selbst die Umrechnung von Standard- nach BB-Koordinaten beschreibt, also die Rolle von S−1S^{-1} hat.
  • Die Basisvektoren als Zeilen statt als Spalten in SS eintragen.

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