Einheitsvektor

Erklärung

Ein Einheitsvektor hat die Länge $1$. Man erhält ihn aus einem beliebigen Vektor $\vec{a}$, indem man jede Koordinate durch den Betrag $|\vec{a}|$ teilt. Das nennt man Normieren. Die Richtung bleibt dabei erhalten, nur die Länge ändert sich.

Für den Nullvektor gibt es keinen Einheitsvektor, weil man durch $0$ teilen müsste und der Nullvektor keine Richtung hat.

Einheitsvektoren braucht man, um einen Vektor mit vorgegebener Länge in eine bestimmte Richtung zu bauen: Ein Vektor der Länge $k$ in Richtung $\vec{a}$ ist $k \cdot \vec{a}^{\,0}$. Auch die Hessesche Normalform einer Ebene nutzt einen normierten Normalenvektor.

Beispiele

Für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ist $|\vec{a}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$:

Probe: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4 + 1 + 4}{9} = 1$.

Ein Vektor der Länge $6$ in Richtung $\vec{a}$ ist $6 \cdot \vec{a}^{\,0} = (4,\ -2,\ 4)$.

Für $\vec{b} = (1,\ 1,\ 0)$ ist $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, also $\vec{b}^{\,0} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0\right) \approx (0{,}71,\ 0{,}71,\ 0)$.

Typische Fehler

• Durch das Quadrat der Länge teilen: Richtig ist $\frac{1}{|\vec{a}|}$, nicht $\frac{1}{|\vec{a}|^2}$.
• Nur eine Koordinate teilen. Alle Koordinaten werden durch denselben Betrag geteilt.
• Glauben, ein Vektor mit lauter Einsen sei ein Einheitsvektor: $(1,\ 1,\ 0)$ hat die Länge $\sqrt{2}$, nicht $1$.