Parameterform einer Geraden

Oberstufe

g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}

Voraussetzung: $\vec{u} \neq \vec{0},$ $t \in \mathbb{R}$

$g$: Name der Geraden
$\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Geraden
$\vec{p}$: Stützvektor, Ortsvektor eines festen Punkts P der Geraden
$\vec{u}$: Richtungsvektor, gibt die Richtung der Geraden an
$t$: Parameter, eine reelle Zahl; jeder Wert liefert einen Punkt der Geraden

Jeder Punkt einer Geraden entsteht aus einem festen Punkt plus einem Vielfachen des Richtungsvektors.

Erklärung

Eine Gerade im Raum lässt sich nicht wie in der Ebene als $y = mx + b$ schreiben. Stattdessen beschreibt man sie mit Vektoren:

Der Stützvektor $\vec{p}$ führt vom Ursprung zu einem Punkt der Geraden.
Der Richtungsvektor $\vec{u}$ gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft.
Der Parameter $t$ legt fest, wie weit man von $P$ aus in Richtung $\vec{u}$ geht. Negative Werte führen in die Gegenrichtung.

Für die Gerade durch zwei Punkte $A$ und $B$ nimmt man $\vec{p} = \vec{a}$ und $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ . Die Darstellung ist nicht eindeutig: Jeder andere Punkt der Geraden taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache $k \cdot \vec{u}$ mit $k \neq 0$ als Richtungsvektor.

Punktprobe: Ein Punkt liegt auf der Geraden, wenn es ein $t$ gibt, das alle drei Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllt.

Beispiele

Gerade durch $A(1 \mid 2 \mid 0)$ und $B(3 \mid -1 \mid 4)$ . Der Richtungsvektor ist $\overrightarrow{AB} = (2,\ -3,\ 4)$ :

g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}

Für $t = 0$ erhält man $A$ , für $t = 1$ den Punkt $B$ .

Liegt $P(7 \mid -7 \mid 12)$ auf $g$ ? Aus der ersten Zeile $1 + 2t = 7$ folgt $t = 3$ . Probe: $2 - 3 \cdot 3 = -7$ und $0 + 4 \cdot 3 = 12$ . Alle Zeilen passen, $P$ liegt auf $g$ .

Liegt $Q(5 \mid -4 \mid 9)$ auf $g$ ? Aus $1 + 2t = 5$ folgt $t = 2$ , die zweite Zeile passt mit $2 - 6 = -4$ . Die dritte Zeile liefert aber $0 + 4 \cdot 2 = 8 \neq 9$ . $Q$ liegt nicht auf $g$ .

Typische Fehler

Den Ortsvektor von $B$ als Richtungsvektor nehmen. Der Richtungsvektor ist $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ .
Bei der Punktprobe in jeder Zeile ein anderes $t$ zulassen. Der Parameter muss in allen drei Zeilen gleich sein.
Nach zwei passenden Zeilen aufhören. Erst wenn auch die dritte Zeile stimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

Parameterform einer Geraden