Betrag eines Vektors

Oberstufe

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

$\vec{a}$: Vektor mit den Koordinaten a₁, a₂, a₃
$a_1, a_2, a_3$: Koordinaten des Vektors
$|\vec{a}|$: Betrag, also die Länge des Pfeils

Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Koordinaten.

Erklärung

Der Betrag $|\vec{a}|$ ist die Länge des Pfeils, der den Vektor darstellt. Die Formel ist der Satz des Pythagoras, zweimal angewendet: erst in der Grundfläche, dann in die Höhe.

Der Betrag ist nie negativ und nur für den Nullvektor gleich $0$ . In der Ebene (2D) lautet die Formel $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ .

Den Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ erhält man als Betrag des Verbindungsvektors: $d(A, B) = |\overrightarrow{AB}|$ .

Beispiele

Für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ :

|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

Abstand von $A(1 \mid 2 \mid -1)$ und $B(4 \mid 0 \mid 3)$ . Der Verbindungsvektor ist $\overrightarrow{AB} = (3,\ -2,\ 4)$ :

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39

In der Ebene: $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Typische Fehler

Negative Koordinaten falsch quadrieren: $(-1)^2 = 1$ , nicht $-1$ . Sonst erhält man $\sqrt{4 - 1 + 4} = \sqrt{7}$ statt $3$ .
Die Wurzel vergessen. $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ ist das Quadrat der Länge.
Die Wurzel gliedweise ziehen: $\sqrt{9 + 16}$ ist $5$ , nicht $3 + 4 = 7$ .

Betrag eines Vektors