Abstand Punkt–Gerade im Raum

Oberstufe

\operatorname{dist}(Q, g) = \frac{|(\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u},$ $\vec{u} \neq \vec{0}$

$\operatorname{dist}(Q, g)$: Abstand des Punkts Q von der Geraden g
$\vec{q}$: Ortsvektor des Punkts Q
$\vec{p}$: Stützvektor der Geraden g
$\vec{u}$: Richtungsvektor der Geraden g

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden ist die Parallelogrammfläche aus Richtungs- und Verbindungsvektor geteilt durch die Länge des Richtungsvektors.

Erklärung

Gesucht ist die kürzeste Entfernung von $Q$ zu einem Punkt der Geraden $g$ . Die Formel nutzt das Kreuzprodukt: Die Vektoren $\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$ und $\vec{u}$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine Fläche ist $|\overrightarrow{PQ} \times \vec{u}|$ , seine Grundseite $|\vec{u}|$ . Die zugehörige Höhe ist genau der gesuchte Abstand.

Alternativ bestimmt man den Lotfußpunkt $F$ auf $g$ , für den $\overrightarrow{FQ}$ senkrecht auf $\vec{u}$ steht:

t_F = \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}, \qquad \operatorname{dist}(Q, g) = |\vec{q} - \vec{p} - t_F \, \vec{u}|

Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Der Lotfußpunkt-Weg funktioniert auch in der Ebene, wo es kein Kreuzprodukt gibt.

Beispiele

Gerade durch $P(1 \mid 0 \mid 0)$ mit $\vec{u} = (0,\ 1,\ 0)$ , Punkt $Q(4 \mid 5 \mid 4)$ . Es ist $\vec{q} - \vec{p} = (3,\ 5,\ 4)$ :

(\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 0 - 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{dist}(Q, g) = \frac{5}{1} = 5

Zur Kontrolle: Der Lotfußpunkt ist $F(1 \mid 5 \mid 0)$ , und $|\overrightarrow{FQ}| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$ .

Gerade durch $P(1 \mid 2 \mid 0)$ mit $\vec{u} = (2,\ -3,\ 4)$ , Punkt $Q(2 \mid 1 \mid 3)$ . Es ist $\vec{q} - \vec{p} = (1,\ -1,\ 3)$ :

(\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 4 - 3 \cdot (-3) \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

\operatorname{dist}(Q, g) = \frac{\sqrt{25 + 4 + 1}}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \sqrt{\frac{30}{29}} \approx 1{,}02

Typische Fehler

Nicht durch $|\vec{u}|$ teilen. Das Ergebnis stimmt nur, wenn $\vec{u}$ die Länge $1$ hat.
Einfach $|\overrightarrow{PQ}|$ als Abstand nehmen. Das ist die Entfernung zu einem Punkt der Geraden, meist nicht die kürzeste.
Die Formel für den Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform) auf eine Gerade im Raum anwenden. Eine Gerade im Raum hat keinen eindeutigen Normalenvektor.

Abstand Punkt–Gerade im Raum