Orthogonale Matrix

Studium

Q^{T} Q = Q Q^{T} = E \quad\Longleftrightarrow\quad Q^{-1} = Q^{T}

Voraussetzung: $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$Q$: quadratische reelle Matrix
$Q^{T}$: Transponierte von Q
$E$: n × n-Einheitsmatrix

Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bilden; dann ist ihre Inverse die Transponierte.

Erklärung

Eine quadratische Matrix $Q$ heißt orthogonal, wenn $Q^T Q = E$ gilt. Gleichwertig sind:

Die Spalten von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis: Jede Spalte hat Länge $1$ , verschiedene Spalten stehen senkrecht aufeinander.
Die Zeilen von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis.
$Q$ ist invertierbar mit $Q^{-1} = Q^T$ .
$Q$ erhält das Skalarprodukt: $\langle Q\vec x, Q\vec y \rangle = \langle \vec x, \vec y \rangle$ , also auch Längen und Winkel.

Weitere Eigenschaften:

$\det Q = \pm 1$ . Bei $+1$ ist $Q$ eine Drehung, bei $-1$ enthält sie eine Spiegelung.
Produkte und Inverse orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
Reelle Eigenwerte sind $\pm 1$ , komplexe haben den Betrag $1$ .

Orthogonale Matrizen sind numerisch angenehm: Die Inverse kostet nur ein Transponieren, und Rundungsfehler werden nicht verstärkt. Deshalb tauchen sie in der QR-Zerlegung und bei der Diagonalisierung symmetrischer Matrizen auf.

Beispiele

$Q = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ : Die Spalten $(0{,}6,\ 0{,}8)$ und $(-0{,}8,\ 0{,}6)$ haben Länge $1$ , denn $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ , und ihr Skalarprodukt ist $-0{,}48 + 0{,}48 = 0$ . Also ist $Q$ orthogonal mit $\det Q = 1$ , eine Drehung. Sie bildet $(5,\ 0)$ auf $(3,\ 4)$ ab, beide haben Länge $5$ .

Die Permutationsmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ vertauscht die ersten beiden Koordinaten. Sie ist orthogonal mit $\det P = -1$ , eine Spiegelung an der Ebene $x_1 = x_2$ .

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist nicht orthogonal: Die erste Spalte hat zwar Länge $1$ , aber das Skalarprodukt der Spalten ist $1 \neq 0$ .

Typische Fehler

Nur prüfen, ob die Spalten senkrecht aufeinander stehen. Sie müssen außerdem die Länge $1$ haben. $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ hat orthogonale Spalten, ist aber nicht orthogonal.
Aus $\det Q = \pm 1$ auf Orthogonalität schließen. Die Umkehrung gilt nicht, z.B. hat $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Determinante $1$ .
$Q^{-1}$ aufwendig berechnen, obwohl $Q^T$ genügt.

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