Verbindungsvektor

Oberstufe

\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}

$A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$: Anfangspunkt (Fuß) des Pfeils
$B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$: Endpunkt (Spitze) des Pfeils
$\vec{a}, \vec{b}$: Ortsvektoren der Punkte A und B, also die Pfeile vom Ursprung zu A und B
$\overrightarrow{AB}$: Verbindungsvektor, der Pfeil von A nach B

Der Vektor von A nach B ist der Ortsvektor von B minus den Ortsvektor von A, also „Spitze minus Fuß“.

Erklärung

Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ beschreibt die Verschiebung, die den Punkt $A$ auf den Punkt $B$ bringt. Man erhält ihn, indem man von den Koordinaten des Endpunkts die Koordinaten des Anfangspunkts abzieht. Die Merkregel lautet „Spitze minus Fuß“.

Der Verbindungsvektor ist der Grundbaustein der analytischen Geometrie: Mit ihm berechnet man Abstände, Richtungsvektoren von Geraden und Spannvektoren von Ebenen.

In der Ebene (2D) fällt die dritte Koordinate einfach weg. Der Rückweg $\overrightarrow{BA}$ hat dieselben Koordinaten mit umgekehrtem Vorzeichen: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

Beispiele

Von $A(1 \mid 2 \mid -1)$ nach $B(4 \mid 0 \mid 3)$ :

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}

Von $P(2 \mid -3 \mid 5)$ nach $Q(-1 \mid 4 \mid 5)$ :

\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 4 - (-3) \\ 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}

Die dritte Koordinate ist $0$ : $P$ und $Q$ liegen auf derselben Höhe.

Typische Fehler

Die Reihenfolge vertauschen. $\vec{a} - \vec{b}$ ergibt $\overrightarrow{BA}$ , also den Pfeil in Gegenrichtung.
Vorzeichenfehler bei negativen Koordinaten: $3 - (-1) = 4$ , nicht $2$ .
Die Koordinaten addieren statt subtrahieren. $\vec{a} + \vec{b}$ hat mit der Strecke von $A$ nach $B$ nichts zu tun.

Verbindungsvektor