Linearkombination und lineare Abhängigkeit

Oberstufe

\vec{v} = r_1 \vec{a}_1 + r_2 \vec{a}_2 + \ldots + r_n \vec{a}_n

Voraussetzung: $r_1, \ldots, r_n \in \mathbb{R}$

$\vec{v}$: Vektor, der als Linearkombination dargestellt wird
$\vec{a}_1, \ldots, \vec{a}_n$: gegebene Vektoren
$r_1, \ldots, r_n$: reelle Koeffizienten, die Vorfaktoren der Vektoren

Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen gegebener Vektoren; lässt sich der Nullvektor nichttrivial so darstellen, sind sie linear abhängig.

Erklärung

Eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}_1, \ldots, \vec{a}_n$ ist eine Summe ihrer Vielfachen. Ob sich ein Vektor $\vec{v}$ so darstellen lässt, prüft man komponentenweise: Das ergibt ein lineares Gleichungssystem für $r_1, \ldots, r_n$ .

Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur auf die triviale Art darstellen lässt:

r_1 \vec{a}_1 + \ldots + r_n \vec{a}_n = \vec{0} \;\Rightarrow\; r_1 = \ldots = r_n = 0

Gibt es eine Darstellung mit mindestens einem $r_i \neq 0$ , sind sie linear abhängig. Dann ist mindestens einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen.

Geometrisch im Raum:

Zwei Vektoren sind genau dann abhängig, wenn sie kollinear sind, also Vielfache voneinander.
Drei Vektoren sind genau dann abhängig, wenn sie komplanar sind, also in einer Ebene liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix aus den drei Vektoren $0$ ist.
Vier oder mehr Vektoren im Raum sind immer linear abhängig.

Beispiele

Ist $\vec{v} = (4,\ 1,\ 7)$ eine Linearkombination von $\vec{a} = (1,\ 0,\ 2)$ und $\vec{b} = (1,\ 1,\ 1)$ ? Aus $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{v}$ folgt:

\begin{aligned} r + s &= 4 \\ s &= 1 \\ 2r + s &= 7 \end{aligned}

Aus den ersten beiden Zeilen folgt $s = 1$ und $r = 3$ , die dritte passt mit $6 + 1 = 7$ . Also ist $\vec{v} = 3\vec{a} + \vec{b}$ .

Damit sind $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{v}$ linear abhängig, denn $3\vec{a} + \vec{b} - \vec{v} = \vec{0}$ . Passend dazu ist die Determinante der Matrix mit diesen Spalten $0$ .

Die Vektoren $(1,\ 0,\ 0)$ , $(1,\ 1,\ 0)$ und $(1,\ 1,\ 1)$ sind linear unabhängig: Die Determinante der Matrix mit diesen Spalten ist $1 \neq 0$ .

$(2,\ -4,\ 6)$ und $(-1,\ 2,\ -3)$ sind kollinear, weil $(2,\ -4,\ 6) = -2 \cdot (-1,\ 2,\ -3)$ . Sie sind also linear abhängig.

Typische Fehler

Nur zwei der drei Zeilen lösen. Erst wenn auch die dritte Zeile passt, ist $\vec{v}$ eine Linearkombination.
Bei drei Vektoren prüfen, ob je zwei kollinear sind. Drei Vektoren können paarweise nicht kollinear und trotzdem abhängig sein, wie im ersten Beispiel.
Den Nullvektor vergessen: Jede Menge von Vektoren, die $\vec{0}$ enthält, ist linear abhängig.

Linearkombination und lineare Abhängigkeit