Lagebeziehung zweier Ebenen

Oberstufe

\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \neq \vec{0} \;\Rightarrow\; E_1 \cap E_2 = s \text{ mit Richtungsvektor } \vec{n}_1 \times \vec{n}_2

Voraussetzung: $E_1\colon \vec{n}_1 \cdot \vec{x} = d_1,$ $E_2\colon \vec{n}_2 \cdot \vec{x} = d_2,$ $\vec{n}_1, \vec{n}_2 \neq \vec{0}$

$\vec{n}_1, \vec{n}_2$: Normalenvektoren der Ebenen E₁ und E₂
$d_1, d_2$: rechte Seiten der Koordinatenformen
$s$: Schnittgerade der beiden Ebenen

Zwei Ebenen sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Geraden; das entscheiden die Normalenvektoren.

Erklärung

Zwei Ebenen im Raum haben drei mögliche Lagen zueinander:

identisch: Sie haben alle Punkte gemeinsam.
echt parallel: Sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
schneidend: Sie schneiden sich in einer Schnittgeraden $s$ .

Mit den Koordinatenformen entscheidet man so:

Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander ( $\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1$ , gleichwertig $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \vec{0}$ ), sind die Ebenen parallel. Man multipliziert die Gleichung von $E_1$ mit $k$ : Stimmt dann auch die rechte Seite mit $d_2$ überein, sind die Ebenen identisch, sonst echt parallel.
Sonst schneiden sie sich. Die Schnittgerade steht auf beiden Normalenvektoren senkrecht, also ist $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ein Richtungsvektor. Einen Stützpunkt findet man, indem man eine Koordinate frei wählt und das Gleichungssystem aus beiden Ebenengleichungen löst.

Alternativ löst man das Gleichungssystem aus beiden Koordinatenformen direkt mit einem Parameter. Das liefert die Schnittgerade ebenfalls.

Beispiele

$E_1\colon x_1 + x_2 + x_3 = 3$ und $E_2\colon x_1 - x_2 = 1$ . Die Normalenvektoren $(1,\ 1,\ 1)$ und $(1,\ -1,\ 0)$ sind keine Vielfachen, die Ebenen schneiden sich. Richtungsvektor:

\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

Mit $x_2 = 0$ folgt aus $E_2$ $x_1 = 1$ und aus $E_1$ $x_3 = 2$ . Der Punkt $(1 \mid 0 \mid 2)$ liegt in beiden Ebenen:

s\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

$E_3\colon 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5$ hat den Normalenvektor $2 \cdot \vec{n}_1$ . Verdoppelt man $E_1$ , erhält man $2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6$ . Wegen $6 \neq 5$ sind $E_1$ und $E_3$ echt parallel. Bei $2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6$ wären sie identisch.

Typische Fehler

Nur die Normalenvektoren vergleichen und dann „parallel" und „identisch" verwechseln. Die rechten Seiten müssen mit demselben Faktor verglichen werden.
Einen Normalenvektor als Richtungsvektor der Schnittgeraden nehmen. Die Schnittgerade steht senkrecht auf beiden Normalenvektoren.
Beim Stützpunkt eine Koordinate frei wählen, die auf der Schnittgeraden konstant ist, weil die passende Komponente von $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ null ist. Dann ist das System für den gewählten Wert meist unlösbar, und man muss eine andere Koordinate wählen.

Lagebeziehung zweier Ebenen