Abstand windschiefer Geraden

Oberstufe

d(g, h) = \frac{\left|(\vec{q} - \vec{p}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left|\vec{u} \times \vec{v}\right|}

Voraussetzung: $g\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u},$ $h\colon \vec{x} = \vec{q} + t \cdot \vec{v},$ $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$

$d(g, h)$: kürzester Abstand der Geraden g und h
$\vec{p}, \vec{q}$: Stützvektoren von g und h
$\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren von g und h
$\vec{u} \times \vec{v}$: Kreuzprodukt, steht senkrecht auf beiden Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Projektion des Verbindungsvektors auf die gemeinsame Normale.

Erklärung

Zwei windschiefe Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Ihr Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke, des gemeinsamen Lots. Es steht auf beiden Geraden senkrecht, hat also die Richtung $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ .

Die Formel projiziert einen beliebigen Verbindungsvektor $\vec{q} - \vec{p}$ von $g$ nach $h$ auf diese Richtung. Welche Punkte man nimmt, ist egal: Anteile in Richtung $\vec{u}$ oder $\vec{v}$ fallen im Skalarprodukt mit $\vec{n}$ weg.

Gleichwertig ist der Weg über eine Hilfsebene: Man legt durch $g$ die Ebene mit Normalenvektor $\vec{u} \times \vec{v}$ . Sie ist parallel zu $h$ , und der Abstand von $h$ zu ihr ist der Abstand eines beliebigen Punkts von $h$ , z.B. mit der Hesseschen Normalform.

Für schneidende Geraden liefert die Formel $0$ . Für parallele Geraden ist $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ , dann nimmt man den Abstand eines Punkts von der anderen Geraden.

Beispiele

$g\colon \vec{x} = (1,\ 0,\ 2) + s \cdot (1,\ 2,\ -1)$ und $h\colon \vec{x} = (2,\ 3,\ 0) + t \cdot (0,\ 1,\ 1)$ sind windschief.

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{11}

Mit $\vec{q} - \vec{p} = (1,\ 3,\ -2)$ ist $(\vec{q} - \vec{p}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 3 - 3 - 2 = -2$ , also

d(g, h) = \frac{|-2|}{\sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{11}} \approx 0{,}603

Über die Hilfsebene: Durch $g$ geht $H\colon 3x_1 - x_2 + x_3 = 5$ , weil $3 \cdot 1 - 0 + 2 = 5$ . Der Punkt $(2 \mid 3 \mid 0)$ von $h$ hat davon den Abstand $\frac{|6 - 3 + 0 - 5|}{\sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{11}}$ .

Typische Fehler

Die Betragsstriche im Zähler vergessen. Ein Abstand ist nie negativ.
Durch $|\vec{q} - \vec{p}|$ statt durch $|\vec{u} \times \vec{v}|$ teilen.
Den Abstand der Stützpunkte $|\vec{q} - \vec{p}|$ als Abstand der Geraden nehmen. Er ist meist größer.
Die Formel bei parallelen Geraden anwenden. Dort ist der Nenner $0$ .

Abstand windschiefer Geraden